Giải bài 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 trang 168 sách bài tập đại số và giải tích 11 - Bài trang Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + L\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right)} \right] \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( {{x_0}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} L\left( {x - {x_0}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x - {x_0}} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right). \cr} \) Bài 3.1 trang 168 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{\left( {x - 1} \right)\left| x \right|} \over x}\) Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó. Giải: a) \(f\left( x \right) = {{\left( {x - 1} \right)\left| x \right|} \over x} = \left\{ \matrix{ b) Từ đồ thị (H.7) dự đoán \(f\left( x \right)\)liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\;\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)nhưng không liên tục trên R. Thật vậy, - Với \(x > 0,f\left( x \right) = x - 1\)là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \(\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\) - Với \(x < 0,f\left( x \right) = 1 - x\)cũng làhàmđa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\) Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = - 1,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 1\) Bài 3.2 trang 168 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b]và trên (b; c)nhưng không liên tục trên (a; c) Giải: Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ - Trường hợp \(x \le 0\) \(f\left( x \right) = x + 2\) là hàmđa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0] - Trường hợp x > 0 \(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}\) là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (2; 0) thuộc tập xác định của nó. Như vậy \(f\left( x \right)\)liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2) Tuy nhiên, vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {{x^2}}} = + \infty \)nên hàm số \(f\left( x \right)\)không cógiới hạn hữu hạn tại x = 0. Do đó, nó không liên tục tại x = 0. Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2) Bài 3.3 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c) Giải: Vì hàm số liên tục trên (a; b]nên liên tục trên (a; b) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\) (1) Vì hàm số liên tục trên [b; c) nên liên tục trên (b; c) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(f\left( x \right)\)liên tục trên các khoảng (a; b), (b; c) và liên tục tại x = b (vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to b} f\left( x \right) = f\left( b \right)\)). Nghĩa là nó liên tục trên (a; c) Bài 3.4 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} = L\)thì hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục tại điểmx0 Hướng dẫn: Đặt \(g\left( x \right) = {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} - L\)và biểu diễn \(f\left( x \right)\)qua \(g\left( x \right)\) Giải: Đặt \(g\left( x \right) = {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} - L\) Suy ra \(g\left( x \right)\)xác định trên \(\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\) Mặt khác, \(f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + L\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right)\)nên \(\eqalign{ Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại
|