Giải bài 3.24, 3.25, 3.26 trang 185 sách bài tập giải tích 12 - Bài trang sách bài tập (SBT) - Giải tích

Bài 3.24 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {1 \over x}\), y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể tích của vật thể khi \(a \to + \infty \)(tức là \(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a)\)).

Hướng dẫn làm bài

\(V(a) = \pi (1 - {1 \over a})\) và \(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a) = \pi \)

---

Câu 3.25 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Một hình phẳng được giới hạn bởi \(y = {e^{ - x}},y = 0,x = 0,x = 1\). Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên).

a) Tính diện tích Sn của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).

b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\) và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.

Hướng dẫn làm bài

a) \({S_n} = {{{1 \over n}(1 - {e^{ - 1}})} \over {{e^{{1 \over n} - 1}}}}\). HD: Theo hình 80 ta có:

\({S_n} = {1 \over n}{\rm{[}}{e^{ - {1 \over n}}} + {e^{ - 2{1 \over n}}} + ... + {e^{ - {n \over n}}}{\rm{]}} = {1 \over n}{e^{ - {1 \over n}}}{{1 - {e^{ - 1}}} \over {1 - {e^{ - {1 \over n}}}}} = {{{1 \over n}(1 - {e^{ - 1}})} \over {{e^{{1 \over n}}} - 1}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}}\)

Mặt khác \(\int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx = 1 - {e^{ - 1}}} \)

---

Câu 3.26 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?

a) \({\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\)và \({\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\)với \(\pi \le x \le 2\pi {\rm{\} }}\)

b) \(\;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0\)với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \({\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0\) với \(0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\);

c) {y = 2x x2 , y = x} và {y = 2x x2 , y = 2 x };

d) \({\rm{\{ }}y = \log x,y = 0,x = 10\} \)và \({\rm{\{ }}y = {10^x},x = 0,y = 10\} \);

e) \({\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}\) và\({\rm{\{ }}y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y = 1 - x{\rm{\} }}\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

e) Sai