Giải bài 3.28, 3.29, 3.30 trang 114 sách bài tập hình học 12 - Bài trang sách bài tập (SBT) Hình học

Bài 3.28 trang 114 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây:

a) \(({\alpha _1}):3x - 2y - 3z + 5 = 0,\)

\((\alpha {'_1}):9x - 6y - 9z - 5 = 0\)

b) \(({\alpha _2}):x - 2y + z + 3 = 0,\)

\((\alpha {'_2}):x - 2y - z + 3 = 0\)

c) \(({\alpha _3}):x - y + 2z - 4 = 0,\)

\((\alpha {'_3}):10x - 10y + 20z - 40 = 0\)

Hướng dẫn làm bài

a) \(({\alpha _1})//({\alpha _1}')\)

b) \(({\alpha _2})\)cắt \(({\alpha _2}')\)

c) \(({\alpha _3}) \equiv ({\alpha _3}')\)

---

Bài 3.29 trang 114 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Viết phương trình của mặt phẳng \((\beta )\)đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng\((\alpha )\) : 2x y + 3z + 4 = 0

Hướng dẫn làm bài:

Mặt phẳng \((\beta )\)song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\):

2x y + 3z + 4 = 0 , do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\beta )\)là: \(\overrightarrow j = (0;1;0)\) và\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2; - 1;3)\)

Suy ra \((\beta )\)có vecto pháp tuyến là\(\overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow j \wedge \overrightarrow {{n_\alpha }} = (3;0; - 2)\)

Mặt phẳng \((\beta )\)đi qua điểm M(2; -1; 2) có vecto pháp tuyến là:\(\overrightarrow {{n_\beta }} = (3;0; - 2)\)

Vậy phương trình của \((\beta )\)là: 3(x 2) 2(z 2) = 0 hay 3x 2z 2 = 0

---

Bài 3.30 trang 114 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\)đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Hướng dẫn làm bài:

Gọi giao điểm của \((\alpha )\)với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c) (a, b, c > 0).

Mặt phẳng \((\alpha )\)có phương trình theo đoạn chắn là:\({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\) (1)

Do \((\alpha )\)đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1):\({1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} = 1\)

Thể tích của tứ diện OABC là \(V = {1 \over 3}B.h = {1 \over 3}.{1 \over 2}OA.OB.OC = {1 \over 6}abc\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(1 = {1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} \ge 3\root 3 \of {{6 \over {abc}}} \Rightarrow 1 \ge {{27.6} \over {abc}}\)

\(\Rightarrowabc \ge 27.6 \RightarrowV \ge 27\)

Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất \( \LeftrightarrowV = 27 \Leftrightarrow{1 \over a} = {2 \over b} = {3 \over c} = {1 \over 3} \Leftrightarrow\left\{ {\matrix{{a = 3} \cr {b = 6} \cr {c = 9} \cr} } \right.\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha )\)thỏa mãn đề bài là:

\({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\) hay 6x + 3y + 2z 18 = 0