Giải bài 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 trang 102 sách bài tập hình học 12 - Bài trang sách bài tập (SBT) Hình học

Bài 3.5 trang 102 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Hướng dẫn làm bài:

Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:

MA2= (1 x)2+ 1 + (1 z)2

MB2= (1 x)2+ 1 + z2

MC2= (3 x)2+ 1 + (1 z)2

Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA2= MB2= MC2

Từ đó ta tính được \(M({5 \over 6};0; - {7 \over 6})\)

---

Bài 3.6 trang 102 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overline {BC} \)

b)\(\overrightarrow {AB} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} + {1 \over 2}\overrightarrow {AD} + {1 \over 2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} \)

\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \)

Do đó: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \) vì \(\overrightarrow {DC} = - \overrightarrow {CD} \)

b) Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} \) và \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} \)nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \)

Do đó: \(2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {DB} \)

Vậy \(\overrightarrow {AB} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} + {1 \over 2}\overrightarrow {AD} + {1 \over 2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \)

---

Bài 3.7 trang 102 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \)

b) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {QN} = {1 \over 2}\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {PN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \).

Do đó \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\) hay \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \) (1)

Mặt khác \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} \)

\(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)

Nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \) (2)

Vì \(\overrightarrow {DB} = - \overrightarrow {BD} \)

Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \) là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {MQ} - \overrightarrow {MP} = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} - {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\)

Do đó: \(2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} \) (3)

Mặt khác: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} \)

\(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} \)

Nên \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} \) (4)

Vì \(\overrightarrow {CB} - ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0 \)

Từ (3) và (4) ta suy ra \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \) là đẳng thức cần chứng minh.

---

Bài 3.8 trang 102 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Trong không gian cho ba vecto tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \). Gọi \(\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b ,\overrightarrow v = 3\overrightarrow b - \overrightarrow c ,\overrightarrow {\rm{w}} = 2\overrightarrow c - 3\overrightarrow a \).

Chứng tỏ rằng ba vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng.

Hướng dẫn làm bài:

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \)đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho \(\overrightarrow {\rm{w}} = p\overrightarrow u + q\overrightarrow v \).

Giả sử có \(\overrightarrow {\rm{w}} = p\overrightarrow u + q\overrightarrow v \)

\(2\overrightarrow c - 3\overrightarrow a = p(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b ) + q(3\overrightarrow b - \overrightarrow c )\)

\(\Leftrightarrow(3 + p)\overrightarrow a + (3q - 2p)\overrightarrow b - (q + 2)\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \) (1)

Vì ba vecto lấy tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \)nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ {\matrix{{3 + p = 0} \cr {3q - 2p = 0} \cr {q + 2 = 0} \cr} } \right. \Rightarrow\left\{ {\matrix{{p = - 3} \cr {q = - 2} \cr} } \right.\)

Như vậy ta có: \(\overrightarrow {\rm{w}} = - 3\overrightarrow u - 2\overrightarrow v \) nên ba vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng.