Giải bài 3.61, 3.62 trang 133 sách bài tập hình học 12 - Bài trang sách bài tập (SBT) Hình học

Bài 3.61 trang 133 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC} = (0;6;0)\). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

Hướng dẫn làm bài:

\(\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AC} = (0;6;0)} \cr {A(2;0;0)} \cr} } \right. \RightarrowC(2;6;0)\)

Do đó I(1; 3; 4)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\)qua I và vuông góc với OA là: x 1 = 0 ,\((\alpha )\) cắt OA tại K(1; 0; 0)

Khoảng cách từ I đến OA là:

\(IK = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}} = 5\)

---

Bài 3.62 trang 133 sách bài tập (SBT) Hình học 12

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, CD. A1D1. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.

Hướng dẫn làm bài:

Ta chọn hệ trục tọa độ như sau: B1 là gốc tọa độ, \(\overrightarrow {{B_1}{A_1}} = \overrightarrow i ,\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \overrightarrow j ,\overrightarrow {{B_1}B} = \overrightarrow k \). Trong hệ trục vừa chọn, ta có B1(0; 0; 0), B(0; 0; 1), A1(1; 0; 0), D1(1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), C1(0; 1; 0).

Suy ra\(M(0;0;{1 \over 2}),P(1;{1 \over 2};0),N({1 \over 2};1;1)\)

Ta có\(\overrightarrow {MP} = (1;{1 \over 2}; - {1 \over 2});\overrightarrow {{C_1}N} = ({1 \over 2};0;1)\)

Gọi\((\alpha )\) là mặt phẳng chứa C1Nvà song song với MP. \((\alpha )\)có vecto pháp tuyến là\(\overrightarrow n = ({1 \over 2}; - {5 \over 4}; - {1 \over 4})\) hay\(\overrightarrow n ' = (2; - 5; - 1)\)

Phương trình của \((\alpha )\)là \( 2x 5(y 1) z = 0\) hay \(2x 5y z + 5 = 0\)

Ta có \(d(MP,{C_1}N) = d(M,(\alpha )) = {{| - {1 \over 2} + 5|} \over {\sqrt {25 + 4 + 1} }} = {9 \over {2\sqrt {30} }}\)

Ta có:\(\cos (\widehat {MP,{C_1}N}) = {{|\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{C_1}N} |} \over {|\overrightarrow {MP} |.|\overrightarrow {{C_1}N} |}} = 0\). Vậy\((\widehat {MP,{C_1}N}) = {90^0}\).