Giải bài 4, 5, 6 trang 141 sách giáo khoa đại số và giải tích 11 - Bài trang sgk đại số

Bài 4 trang 141 sgk đại số 11

Cho hàm số \(f(x) = \frac{x +1}{x^{2}+x-6}\)và \(g(x) = tanx + sin x\).

Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục.

Giải:

+) Hàm số \(f(x) = \frac{x +1}{x^{2}+x-6}\)xác định khi và chỉ khi \(x^2+x - 6 0 \Leftrightarrow x -3\) và \(x 2\).

Hàm số \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \((-; -3), (-3; 2)\) và \((2; +)\)

+) Hàm số \(g(x) = tanx + sinx\) xác định khi và chỉ khi

\(tanx 0\Leftrightarrow x \frac{\pi }{2} +kπ\) với \(k Z\).

Hàm số \(g(x)\) liên tục trên các khoảng \((- \frac{\pi }{2}+kπ; \frac{\pi }{2}+kπ)\) với \(k \mathbb Z\).

---

Bài 5 trang 141 sgk đại số 11

Ý kiến sau đúng hay sai ?

"Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\) còn hàm số \(y = g(x)\) không liên tục tại \(x_0\)thì
\(y = f(x) + g(x)\) là một hàm số không liên tục tại \(x_0\)"

Giải:

Ý kiến đúng

Giả sử ngược lại \(y = f(x) + g(x)\) liên tục tại \(x_0\). Đặt \(h(x) = f(x) + g(x)\). Ta có \(g(x) = h(x) - f(x)\).

Vì \(y = h(x)\) và \(y = f(x)\) liên tục tại \(x_0\)nên hiệu của chúng là hàm số \(y = g(x)\) phải liên tục tại \(x_0\). Điều này trái với giả thiết là \(y = g(x)\) không liên tục tại \(x_0\).

---

Bài 6 trang 141 sgk đại số 11

Chứng minh rằng phương trình:

a) \(2x^3-6x+ 1 = 0\) có ít nhất hai nghiệm;

b) \(cosx = x\) có nghiệm.

Giải:

a) Hàm số \(fx)=2x^3-6x+ 1 = 0\)là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\).

Ta có: \(f(0).f(1) = 1.(-3) < 0\) nên phương trình có nghiệm trong khoảng \((0; 1)\).

\(f(-2).f(0)=-5<0\)nên phương trình có nghiệm trong khoảng \((-2; 0)\).

Do đó phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất hai nghiệm.

b) Hàm số \(g(x) = cosx - x\) xác định trên \(\mathbb R\) nên liên tục trên \(\mathbb R\).

Mặt khác, ta có \(g(0).g(\frac{\pi }{2}) = 1. (-\frac{\pi }{2}) < 0\) nên phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng \((0; \frac{\pi }{2})\).