Giải bài 5, 6, 7, 8 trang 110 sgk đại số 10 nâng cao - Câu trang SGK Đại số nâng cao

Câu 5 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Đáp án

Với \(a > 0, b > 0\), ta có:

\(\eqalign{
& {1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}} \Leftrightarrow {{a + b} \over {ab}} \ge {4 \over {a + b}} \cr&\Leftrightarrow {(a + b)^2} \ge 4ab \cr
& \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0 \cr} \)

Ta thấy điều này luôn đúng

Vậy \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = b\)

---

Câu 6 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu a 0 và b 0 thì a3+ b3 ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?

Đáp án

Ta có:

a3+ b3 ab(a + b)

(a + b)(a2- ab + b2) ab(a + b) 0

(a + b)(a - b)2 0 (luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi a = b

---

Câu 7 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

a) Chứng minh rằng a2+ ab + b2 0 với mọi số thực a, b.

b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tùy ý, ta có a4 + b4 a3b + ab3

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {a^2} + ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + 2a{b \over 2} + {{{b^2}} \over 4} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(a + {b \over 2})^2} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0 \cr} \)

Ta thấy điều trên luôn đúng.

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {a^4} + {b^4} \ge {\rm{ }}{a^3}b + a{b^3} \cr&\Leftrightarrow {a^4} - {a^3}b - a{b^3} + {b^4} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {a^3}(a - b) - {b^3}(a - b) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a - b)({a^3} - {b^3}) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(a - b)^2}({a^2} + ab + {b^2}) \ge 0 \cr} \)

Ta thấy rằng điều này luôn đúng.

Vậy a4 + b4 a3b + ab3 với mọi a, b

---

Câu 8 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng nếu a, b và c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a2+ b2+ c2< 2(ab + bc + ca).

Đáp án

\(\eqalign{
& a < b + c \Rightarrow {a^2} < a\left( {b + c} \right) \Rightarrow {a^2} < ab + ac\,\,\,(1) \cr
& b < a + c \Rightarrow {b^2} < ba + bc\,\,(2) \cr
& c < a + b \Rightarrow {c^2} < ca + cb\,\,\,(3) \cr
& \cr} \)

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: \({a^2} + {b^2} + {c^2} < 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)