Giải bài 57, 58, 59, 60 trang 89, 90 sgk toán lớp 9 tập 2 - Bài trang sgk Toán lớp tập

Bài 57 trang 89 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 57. Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được một đường tròn:

Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân ? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Hình bình hành nói chung không nội tiếp được đường tròn vì tổng hai góc đối diện không bằng\(180^0\).Trường hợp riêng của hình bình hành là hình chữ nhật (hay hình vuông) thì nội tiếp đường tròn vì tổng hai góc đối diện là \(90^0\) +\(90^0\)=\(180^0\)

Hình thang nói chung, hình thang vuông không nội tiếp được đường tròn.

Hình thang cân \(ABCD (BC= AD)\) có hai góc ở mỗi đáy bằng nhau

\(\widehat{A}\)=\(\widehat{B}\),\(\widehat{C}\)=\(\widehat{D}\); mà\(\widehat{A}\)+\(\widehat{D}\)= \(180^0\) (hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \(AD\) với \(AD // CD\)),suy ra\(\widehat{A}\)+\(\widehat{C}\)=\(180^0\). Vậy hình thang cân luôn có tổng hai góc đối diện bằng\(180^0\)nên nội tiếp được đường tròn

---

Bài 58 trang 90 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 58.Cho tam giác đều \(ABC\). Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) không chứa đỉnh \(A\), lấy điểm \(D\) sao cho \(DB = DC\) và\(\widehat{DCB}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\widehat{ACB}\).

a) Chứng minh \(ABDC\) là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm \(A, B, D, C\).

Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết,\(\widehat{DCB}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\widehat{ACB}\)=\(\frac{1}{2}\).\(60^0\)= \(30^0\)

\(\widehat{ACD}\)=\(\widehat{ACB}\)+\(\widehat{BCD}\)(tia \(CB\) nằm giữa hai tia \(CA, CD\))

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ACD}\)= \(60^0\)+ \(30^0\)=\(90^0\) (1)

Do \(DB = CD\) nênBDC cân =>\(\widehat{DBC}\)=\(\widehat{DCB}\)=30o

Từ đó\(\widehat{ABD}\)=\(30^0\)+\(60^0\)=\(90^0\)(2)

Từ (1) và (2) có\(\widehat{ACD}\)+\(\widehat{ABD}\)= \(180^0\)nên tứ giác \(ABDC\) nội tiếp được.

b) Vì\(\widehat{ABD}\)= \(90^0\)nên \(AD\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDC\), do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDC\) là trung điểm \(AD\).

---

Bài 59 trang 90 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 59.Cho hình bình hành \(ABCD\). Đường tròn đi qua ba đỉnh \(A, B, C\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(P\) khác \(C\). Chứng minh \(AP = AD\)

Hướng dẫn giải:

Do tứ giác \(ABCP\) nội tiếp nên ta có:

\(\widehat{BAP}\)+\(\widehat{BCP}\)= \(180^0\) (1)

Ta lại có:\(\widehat{ABC}\)+\(\widehat{BCP}\)= \(180^0\) (2)

(hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \(CB\) và \(AB // CD\))

Từ (1) và (2) suy ra:\(\widehat{BAP}\)=\(\widehat{ABC}\)

Vậy \(ABCP\) là hình thang cân, suy ra \(AP = BC\) (3)

nhưng \(BC = AD\) (hai cạnh đối đỉnh của hình bình hành) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AP = AD\).

---

Bài 60 trang 90 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 60. Xem hình 48. Chứng minh \(QR // ST\).

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu như hình vẽ.

Ta có tứ giác \(ISTM\) nội tiếp đường tròn nên:

\(\widehat{S_{1}}\)+\(\widehat{M}\)=\(180^0\)

Mà\(\widehat{M_{1}}\)+\(\widehat{M_{3}}\)=\(180^0\)(kề bù)

nên suy ra\(\widehat{S_{1}}\)=\(\widehat{M_{3}}\) (1)

Tương tự từ các tứ giác nội tiếp \(IMPN\) và \(INQS\) ta được

\(\widehat{M_{3}}\) = \(\widehat{N_{4}}\) (2)

\(\widehat{N_{4}}\)= \(\widehat{R_{2}}\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra\(\widehat{S_{1}}\)= \(\widehat{R_{2}}\)(hai góc ở vị trí so le trong).

Do đó \(QR // ST\)