Giải bài 7, 8, 9 trang 127, 128 sgk hình học 10 nâng cao - Bài trang SGK Hình học nâng cao

Bài 7 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ, với mỗi số \(m \ne 0\), xét hai điểm \({M_1}( - 4\,;\,m);\,{M_2}(4\,;\,{{16} \over m})\)

a) Viết phương trình đường thẳng M1M2.

b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng M1M2.

c) Chứng tỏ rằng đường thẳng M1M2 luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

d) Lấy các điểm \({A_1}( - 4\,;\,0),\,{A_2}(4\,;\,0)\). Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng \({A_1}{M_2},\,{A_2}{M_1}\).

e) Chứng minh rằng khi m thay đổi, I luôn luôn nằm trên một elip (E) cố định. Xác định tọa độ tiêu điểm của elip đó.

Giải

a) Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {8\,;\,{{16} \over m} - m} \right) = \left( {8\,;\,{{16 - {m^2}} \over m}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \({M_1}{M_2}\,\,:\,\,{{x + 4} \over 8} = {{y - m} \over {{{16 - {m^2}} \over m}}}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\,\left( {16 - {m^2}} \right).\left( {x + 4} \right) = 8m\left( {y - m} \right) \cr
& \Leftrightarrow \,\,\left( {16 - {m^2}} \right).x - 8my + 64 + 4{m^2} = 0 \cr} \)

b) Khoảng cách từ O đến đường thẳng M1M2 là

\(d(O\,,\,{M_1}{M_2}) = {{64 + 4{m^2}} \over {\sqrt {{{\left( {16 - {m^2}} \right)}^2} + 64{m^2}} }} = {{4\left( {{m^2} + 16} \right)} \over {\sqrt {{{\left( {{m^2} + 16} \right)}^2}} }} = 4\)

c) Gọi (C) là đường tròn tâm O bán kính R = 4 thì M1M2 tiếp xúc với đường tròn cố định (C).

d) Phương trình đường thẳng A1M2 là

\({{x + 4} \over 8} = {{y - 0} \over {{{16} \over m}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2x - my + 8 = 0\)

Phương trình đường thẳng A2M1 là

\({{x - 4} \over { - 8}} = {{y - 0} \over m}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,mx + 8y - 4m = 0\)

Tọa độ giao điểm I của A1M2 và A2M1 là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
2x - my + 8 = 0 \hfill \cr
mx + 8y - 4m = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,(*)\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = {{4({m^2} - 16)} \over {{m^2} + 16}} \hfill \cr
y = {{16m} \over {{m^2} + 16}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(I\left( {{{4({m^2} - 16)} \over {{m^2} + 16}}\,;\,{{16m} \over {{m^2} + 16}}} \right)\).

e) Khử m từ hệ (*) ta có

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
my = 2x + 8 \hfill \cr
m(4 - x) = 8y \hfill \cr} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,\,(2x + 8).(4 - x) = 8{y^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,2(16 - {x^2}) = 8{y^2}\,\, \cr
& \cr& \Rightarrow {x^2} + 4{y^2} = 16\cr&\Rightarrow \,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \cr} \)

Vậy I nằm trên elip (E) có phương trình \(\,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\).

Ta có \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 - 4 = 12\,\,\,\, \Rightarrow \,\,c = 2\sqrt 3 \)

Hai tiêu điểm của elip là \({F_1}( - 2\sqrt 3 \,;\,0)\,,\,\,\,{F_2}(2\sqrt 3 \,;\,0)\)

---

Bài 8 trang 128 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho hypebol (H) có phương trình \({{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 4} = 1\)

a) Viết phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H).

b) Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H).

c) Chứng minh rằng các điểm \(M\left( {5\,;\,{3 \over 2}} \right)\,,\,N(8\,;\,2\sqrt 3 )\)đều thuộc (H).

d) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của hypebol (H).

e) Chứng minh rằng các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.

Giải

a) Ta có a = 4, b = 2.

Phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) là

\(y = \pm {b \over a}x = \pm {1 \over 2}x\)

b) Diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H) là \(S = 4ab = 4.4.2 = 32\)

c) Ta có \({{{5^2}} \over {16}} - {{{{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}} \over 4} = 1\)và \({{{8^2}} \over {16}} - {{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} \over 4} = 1\)nên M và N đều thuộc (H).

d) Phương trình đường thẳng của MN

\(\Delta \,:\,\,{{x - 5} \over {8 - 5}} = {{y - {3 \over 2}} \over {2\sqrt 3 - {3 \over 2}}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}}\)

Giao điểm P của Δ với tiệm cận \(y = {1 \over 2}x\)là nghiệm của hệ

\(\left\{ \matrix{
\,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr
y = {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = 8 + 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = 4 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow \,\,P\,\left( {8 + 2\sqrt 3 \,;\,\,4 + \sqrt 3 } \right)\) .

Giao điểm Q của Δ với tiệm cận \(y = - {1 \over 2}x\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \matrix{
\,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr
y = - {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = 5 - 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = - {5 \over 2} + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \)

\(\RightarrowQ\left( {5 - 2\sqrt 3 \,;\, - {5 \over 2} + \sqrt 3 } \right)\)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN, PQ . Ta có \({x_I} = {x_J} = {{13} \over 2}\). Do \(I\,,\,J\,\, \in \,\,\Delta \)nên \(I \equiv J\).

Vậy các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.

---

Bài 9 trang 128 SGK Hình học 10 nâng cao

a) Ta có p = 2. Tọa độ tiêu điểm của (P) là F(1, 0).

Phương trình đường chuẩn d: x + 1 = 0.

b) Ta có \(K( - 1;\,m)\,,\,\,H(0\,;\,m)\,,\,M\left( {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right)\).

c) I là trung điểm OH nên \(I\left( {0\,;\,{m \over 2}} \right)\)

Phương trình đường thẳng IM

\({{x - 0} \over {{{{m^2}} \over 4} - 0}} = {{y - {m \over 2}} \over {m - {m \over 2}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = {m \over 2}\left( {y - {m \over 2}} \right)\)

\(\Leftrightarrow \,\,\,4x - 2my + {m^2} = 0\)

Tọa độ giao điểm của IM với (P) là nghiệm của hệ

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
4x - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
{y^2} - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
{(y - m)^2} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{
x = {{{m^2}} \over 4} \hfill \cr
y = m \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy IM cắt (P) tại một điểm duy nhất \(M\left( {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right)\)

d) Ta có \(\overrightarrow {MI} = \left( { - {{{m^2}} \over 4}\,;\, - {m \over 2}} \right)\,\,,\,\,\,\overrightarrow {KF} = (2\,;\, - m)\).

Suy ra \(\overrightarrow {MI} .\,\overrightarrow {KF} = - {{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} = 0\,\,\,\, \Rightarrow \,\,MI \bot KF\)

Tam giác \(KMF\)cân tại M (do MF = MK).

MI là đường cao nên là phân giác góc KMF.