Giải bài 8, 9, 10 trang 111 sgk hình học 12 nâng cao - a) Chứng minh rằng d và d chéo nhau và vuông góc với nhau
a) Ta có \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 14.\)Mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) và có bán kính \(R = \sqrt {14} .\)b) Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là: \(d = {{\left| {1 + 2 - 3 + k} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = {{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }}.\)i) \({{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} < \sqrt {14} \Leftrightarrow \left| k \right| < \sqrt {42} :\,\,\left( P \right)\)cắt (S) theo một giao tuyến là một đường tròn.ii) \({{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} = \sqrt {14} \Leftrightarrow \left| k \right| = \sqrt {42} :\,\,\left( P \right)\) tiếp xúc với (S).iii) \({{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} > \sqrt {14} \Leftrightarrow \left| k \right| > \sqrt {42} :\,\,\left( P \right)\) không cắt (S).c) (S) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (khác O) thì A(2; 0; 0) ; B(0; 4; 0) ; C(0; 0; 6). a) Chứng minh rằng d và d chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d, phương trình mp(Q) đi qua d và vuông góc với d. Giải a) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0;3;6} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;0;1} \right)\). Đường thẳng d đi qua \(M'\left( {2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\). \(\eqalign{ Vậy d và d chéo nhau. \(x - \left( {y - 3} \right) - \left( {z - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 9 = 0\) Mp(Q) đi qua \(M'\left( {2;1;2} \right)\)và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(\left( {x - 2} \right) + z - 2 = 0 \Leftrightarrow x + z - 4 = 0\) \(\Delta :\left\{ \matrix{ Cho x = 0 ta có y = 5 và z = 4. Suy ra A(0; 5; 4)\(\in \Delta \),\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{ \(= \left( { - 1; - 2;1} \right)\) Phương trình chính tắc của \(\Delta :\,{x \over { - 1}} = {{y - 5} \over { - 2}} = {{z - 4} \over 1}\) Bài 8 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình: Giải a) Hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;2} \right)\). Vì hai vectơ đó không cùng phương nên (P) và (Q) cắt nhau. Vì \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 3; - 3;3} \right)\) nên ta có thể lấy \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\). Bài 9 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao Cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0.\) Giải a) Ta có \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 14.\) Phương trình mặt phẳng (ABC): \({x \over 2} + {y \over 4} + {z \over 6} = 1.\) \(\Leftrightarrow x - 2y + 3z + 8 = 0.\) \(\eqalign{ Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là: \(4x + 3y - 12z + 26 \pm 13\sqrt {14} = 0.\) Bài 10 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng 1. Trên các tia AA, AB, AD (có chung gốc A) lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n và AP = p. Giải Ta chọn Oxyz sao cho O trùng A, các tia Ox, Oy và Oz lần lượt chứa các điểm B, D, A. Khi đó ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\,\,;\,\,B\left( {1;0;0} \right)\,\,;\,D\left( {0;1;0} \right)\,\,;\,\,A'\left( {0;0;1} \right)\,;\) \(\,C'\left( {1;1;1} \right)\,\,;\,\,M\left( {0;0;m} \right)\,\,;\,\,N\left( {n;0;0} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;p;0} \right)\) b) Thể tích tứ diện AMNP là \(V = {1 \over 6}AM.AN.AP = {1 \over 6}mnp\) (trong đó m, n, p là các số dương thỏa mãn điều kiện (*)). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
|