Giải bài tập 4, 5, 6 trang 58 sách giáo khoa đại số và giải tích 11 - Bài trang sgk đại số và giải tích
Ta có: \({\left( {{x^3} +4 {1 \over x}} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{3.(8 - k)}}{\left( {{1 \over x}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 - 4k}}\) Bài 4 trang 58 sgk đại số và giải tích 11 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \({\left( {{x^3} + {1 \over x}} \right)^8}\) Bài giải: Ta có: \({\left( {{x^3} +4 {1 \over x}} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{3.(8 - k)}}{\left( {{1 \over x}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 - 4k}}\) Trong tổng\(\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 - 4k}}\)số hạng không chứa \(x\) khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} 24 - 4k = 0 & & \\ 0\leq k \leq 8& & \end{matrix}\right.\) \( k = 6\). Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là \({C^6}_8 = {\rm{ }}28\). Bài 5 trang 58 sgk đại số và giải tích 11 Từ khai triển biểu thức \((3x 4)^{17}\)thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được: Bài giải: Tổng các hệ số của đa thức \(f(x) = (3x 4)^{17}\)bằng: \(f(1) = (3 4)^{17}= ( 1)^{17}= -1\). Bài 6 trang 58 sgk đại số và giải tích 11 Chứng minh rằng: b) \(101^{100} 1\) chia hết cho \(10 000\); c) \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên. Bài giải: a) \({11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 = (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}\) \(+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1\) \(= {\rm{ }}{10^2} + {\rm{ }}{C^2}_{10}{10^2} + \ldots + {\rm{ }}{C^9}_{10}{10^9} + {\rm{ }}{10^{10}}\) Tổng sau cùng chia hết cho \(100\) suy ra\(11^{10} 1\) chia hết cho \(100\). b) Ta có \({101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1\) \(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... + \) \(C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1\) \(= {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}\) Tổng sau cùng chia hết cho \(10 000\) suy ra\(101^{100} 1\) chia hết cho \(10 000\). c) \({(1 + \sqrt {10} )^{100}} = 1 - C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... \) \(- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\) \(= 1 - C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... - C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}}\) \(+ {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\) \(\sqrt {10} \left[ {{{\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}^{100}} - {{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\)= \(2\sqrt {10} .\left[ {C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^3{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^3} + ..+ C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}}} \right]\) \(= 2\left( {C_{100}^1.10 + C_{100}^3{{.10}^2} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{50}}} \right)\) Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} {(1- \sqrt{10})}^{100}]\)là một số nguyên.
|