Giải phương trình chứa căn và trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa trị tuyệt đối chúng ta có thể sử dụng hai cách chính là bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối, hoặc sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để xét các trường hợp (có thể lập bảng để việc phá dấu giá trị tuyệt đối được dễ dàng hơn).

Xem thêm:

1. Cách giải phương trình chứa trị tuyệt đối

Trước tiên, chúng ta nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số: $$ |a|=\begin{cases} a& \text{nếu } x \geqslant 0\\ -a& \text{nếu } x <0 \end{cases} $$ Từ đó, chúng ta có cách giải 2 dạng phương trình chứa trị tuyệt đối như sau:

1. $|A|=|B| \Leftrightarrow A=\pm B$;
2. $ |A|= B$ ta xét hai khả năng:
   • nếu $ B <0$ thì phương trình vô nghiệm;
   • nếu $ B <0$ thì phương trình tương đương với $ A=\pm B$.

Nếu $ B$ là một biểu thức chứa $ x$ thì phương trình đã cho tương đương với $$ \begin{cases} B \geqslant 0\\ A=\pm B
\end{cases} $$ Để dễ cho việc kết hợp nghiệm, chúng ta thường tách thành hai trường hợp, hoặc hai hệ như sau: $$ |A|= B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} B \geqslant 0\\ A=B \end{cases}\\ \begin{cases} B \geqslant 0\\ A=-B \end{cases} \end{array}\right. $$

2. Ví dụ giải phương trình chứa trị tuyệt đối

Ví dụ 1. Giải phương trình $$|x-3|=|2x+1|.$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$ \left[\begin{array}{l} x-3=2x+1\\ x-3=-(2x+1)\end{array}\right.
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-4\\x=2\end{array}\right.$$

Ví dụ 2. Giải phương trình $$|x-3|=|x^2+3x-1|.$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \begin{align} &\left[\begin{array}{l} x-3=x^2+3x-1\\ x-3=-(x^2+3x-1)\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow & \left[\begin{array}{l} x^2+2x+2=0\text{ (vô nghiệm)}\\ x^2+4x-4=0\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow & x=-2\pm 2\sqrt{2}.

\end{align}