Giải toán 11 đạo hàm của hàm số lượng giác

Sách giải toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác.

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

1. LÝ THUYẾT

1. Giới hạn sinxx

Định lý 1.

limx→0sinxx=1.

Ví dụ 1. Tính limx→1sinx−1x2−1

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

limt→0sinttt+2=limt→0sintt.1t+2=limt→0sintt.limt→01t+2=1.12=12.

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y=sin2x+32

Lời giải

y'=2sin2x+3'.sin2x+3=2cos2x+3.2x+3'.sin2x+3y'=4cos2x+3.sin2x+3

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y=cosπ2−x tại x=π3.

Lời giải

Đặt u=π2−x

⇒y'=cosu'=−u'.sinu=−π2−x'sinπ2−x=sinπ2−x.

Thay x=π3 vào y’ ta được:

y'π3=sinπ2−π3=sinπ6=12.

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại x=π3 là 12

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi x≠π2+kπ,k∈ℤ và (tanx)’ = 1cos2x.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = u'cos2u.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm y=2+tanx

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

y'=u'2u=2+tanx'22+tanx=1cos2x22+tanx=12.cos2x2+tanx

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi x≠kπ,k∈ℤ và (cotx)’ = −1sin2x.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = −u'sin2u.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x2.

Lời giải

y’ = (cot x2)’ = (x2)’.-1sinx22=−2xsinx22.

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

2. BÀI TẬP

Bài 1. Tính các đạo hàm sau:

1. y=3tan2x+cot2x

2. y=−cosx3sin3x+43cotx

3. y=cos2sin3x

4. y=xsinx

Lời giải

y'=3tan2x+cot2x'23tan2x+cot2x=6tanx.1cos2x−2sin22x23tan2x+cot2x=6sinxcos3x−12.sin2x.cos2x23tan2x+cot2x

y'=−cosx3sin3x+43cotx'=sinx.3sin3x+cosx.9.sin2x.cosx3sin3x2−43sin2x=sin2x+3cos2x3sin4x−43sin2x=3cos2x−3sin2x3sin4x=cos2x−sin2xsin4x

y'=cos2sin3x'=2.cossin3x.cossin3x'=2.cossin3x.cossin3x'=2.cossin3x.−sinsin3xsin3x'=−2.cossin3x.sinsin3x3sin2x.cosx=−6.cossin3x.sinsin3xsin2x.cosx

y'=x'.sinx−x.sinx'sinx2=sinx−x.cosxsinx2

Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc x.

1. y=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x

2. y=cos2π3−x+cos2π3+x+cos22π3−x+cos22π3+x−2sin2x

Lời giải

a)

y'=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x'=6sin5xcosx−6cos5x.sinx+6sinxcos3x−6sin3xcosx=6sinxcosxsin4x−cos4x+6sinxcosxcos2x−sin2x=6sinxcosxsin2x−cos2xsin2x+cos2x+6sinxcosxcos2x−sin2x=6sinxcosxsin2x−cos2x+6sinxcosxcos2x−sin2x=−6sinxcosxcos2x−sin2x+6sinxcosxcos2x−sin2x=0

b)

y'= 2cosπ3−xsinπ3−x−2cosπ3+xsinπ3+x+2cos2π3−xsin2π3−x−2cos2π3+xsin2π3+x−4sinxcosx= sin2π3−2x−sin2π3+2x+sin4π3−2x−sin4π3+2x−2sin2x= −2cos2π3sin2x−2cos4π3sin2x−2sin2x= sin2x+sin2x−2sin2x=0