Giáo trình Cơ sở toán học Nguyễn Gia Định

Bộ giáo dục và đào tạo đại học huế trờng đại học khoa học nguyễn gia định giáo trình CƠ Sở TOáN HọC {a}{a,b,c}{a,b}{c}{b}{a,c}{b,c} huế 2005 L`O.IN´OI D-ˆA`UNh˜u.ng ngu.`o.im´o.ib˘a´td¯ˆa`u nghiˆen c´u.u to´an ho.cthu.`o.ng ca’m thˆa´y kh´o xˆaydu..ng th´oi quen ph´at biˆe’umˆo.t c´ach ch˘a.t ch˜e nh˜u.ng ´y kiˆe´nmuˆo´n tr`ınh b`ay, kh´oho.ctˆa.p c´ac phu.o.ng ph´ap lˆa.p luˆa.n d¯´ung d¯˘a´n v`a kh´o n˘a´md¯u.o..c c´ac kh´ai niˆe.mco.ba’ncu’a to´an ho.c. Nh˜u.ng kh´o kh˘an n`ay du.`o.ng nhu.b˘a´t nguˆo`nt`u.chˆo˜:mˆo.tl`akhˆong d¯u.o..c luyˆe.ntˆa.pvˆe`lˆogic to´an, mˆo.tchu’d¯ ˆe`nghiˆen c´u.u c´ach lˆa.p luˆa.n suydiˆe˜n ´ap du.ng v`ao viˆe.cch´u.ng minh c´ac d¯i.nh l´y to´an ho.c; hai l`a do thiˆe´u c´ac kh´ainiˆe.mco.ba’n v`a c´ac phu.o.ng ph´ap d`ung trong l´y thuyˆe´ttˆa.pho..p m`a ng`ay naythu.`o.ng d¯u.o..c ´ap du.ng trong mo.i ng`anh to´an ho.cv`ad`ung l`am co.so.’d¯ ˆe’khai ph´av`a gia’i th´ıch c´ac kh´ai niˆe.mco.ba’ncu’a to´an ho.c (nhu.´anh xa., quan hˆe., ...); bal`a do khˆong n˘a´md¯u.o..cnh˜u.ng kh´ai niˆe.mco.ba’ncu’ad¯a.isˆo´tr`u.utu.o..ng, mˆo.t chu’d¯ ˆe`d¯ang ph´at triˆe’nma.nh m˜e v`a c´o a’nh hu.o.’ng d¯ˆe´nmo.i ng`anh to´an ho.c kh´ac, cu.thˆe’qua c´ac cˆa´utr´uc d¯a.isˆo´cu’a c´ac tˆa.pho..psˆo´quen thuˆo.c (nhu.tˆa.p c´ac sˆo´tu..nhiˆen, tˆa.p c´ac sˆo´nguyˆen, tˆa.p c´ac sˆo´h˜u.utı’,tˆa.p c´ac sˆo´thu..c v`a tˆa.p c´ac sˆo´ph´u.c).D-u.o..csu..d¯ ˆo.ng viˆen ma.nh m˜e cu’a c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p trong c´ac Khoa To´an-Co.-Tin ho.c, Cˆong nghˆe.Thˆong tin v`a Vˆa.tl´y(Tru.`o.ng D-a.iho.c Khoa ho.c-D-a.iho.cHuˆe´), c´ac Khoa To´an v`a Tin ho.c (Tru.`o.ng D-a.iho.cSu.pha.m-D-a.iho.cHuˆe´)v`ad¯ ˘a.cbiˆe.t do nhu cˆa`uho.ctˆa.pcu’a c´ac sinh viˆen trong D-a.iho.cHuˆe´o.’c´ac Khoan´oi trˆen, ch´ung tˆoi ma.nh da.nviˆe´t gi´ao tr`ınh Co.so.’To´an ho.c, trong khi trˆen thi.tru.`o.ng s´ach c´o kh´a nhiˆe`u t`ai liˆe.u liˆen quan d¯ˆe´nho.c phˆa`n n`ay (nhu.ng d¯u.o..c tr`ınhb`ay ta’nma.nv`ar`o.ira.c). D-iˆe`u m`a ch´ung tˆoi mong muˆo´n l`a c´ac kiˆe´nth´u.ccu’aho.c phˆa`n n`ay pha’id¯u.o..cd¯u.a v`ao d¯ˆa`yd¯u’,cˆod¯o.ng, ch´ınh x´ac, cˆa.p nhˆa.t v`a b´ams´at theo yˆeu cˆa`u d¯`ao ta.o sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Vˆa.t l´y, Cˆong nghˆe.Thˆong tinv`a mˆo.tsˆo´ng`anh k˜y thuˆa.t kh´ac cu’a c´ac tru.`o.ng d¯a.iho.c v`a cao d¯˘a’ng. V´o.isu..nˆo’lu..chˆe´t m`ınh cu’aba’n thˆan, ch´ung tˆoi thiˆe´t ngh˜ı d¯ˆay c`on l`a t`ai liˆe.u tham kha’otˆo´t cho c´ac gi´ao viˆen gia’ng da.yho.c phˆa`n Nhˆa.pmˆonD-a.isˆo´hay Co.so.’To´an ho.cNˆo.i dung cu’a t`ai liˆe.u n`ay d¯u.o..cbˆo´tr´ı trong 6 chu.o.ng. Trong c´ac phˆa`ncu’amˆo˜i chu.o.ng c´o nhiˆe`uth´ıdu.cu.thˆe’minh hoa.cho nh˜u.ng kh´ai niˆe.mc˜ung nhu.nh˜u.ng kˆe´t qua’cu’ach´ung. Cuˆo´icu’amˆo˜ichu.o.ng l`a nh˜u.ng b`ai tˆa.pd¯u.o..ccho.nlo.ct`u.dˆe˜d¯ ˆe´n kh´o b´am theo nˆo.i dung cu’achu.o.ng d¯´o v`a liˆe`n sau d¯´o l`a c´ac l`o.i gia’icu’ach´ung. D-´o l`a c´ac chu.o.ng vˆe`Lˆogic to´an v`a tˆa.pho..p,´Anh xa., Quan hˆe.,Sˆo´tu..nhiˆen v`a sˆo´nguyˆen, Sˆo´h˜u.utı’,sˆo´thu..c v`a sˆo´ph´u.c, D-ath´u.c.Ch´ung tˆoi xin chˆan th`anh c´am o.n c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p d¯ ˜a d¯ ˆo.ng viˆen v`a g´op ´ycho cˆong viˆe.cviˆe´t gi´ao tr`ınh Co.so.’To´an ho.c n`ay v`a l`o.i c´am o.nd¯˘a.cbiˆe.t xind`anh cho Khoa To´an-Co.-Tin ho.c (Tru.`o.ng D-a.iho.c Khoa ho.c-D-a.iho.cHuˆe´)vˆe`su..gi´up d¯˜o.qu´y b´au v`a ta.o d¯ i ˆe`ukiˆe.n thuˆa.nlo..ichoviˆe.c xuˆa´tba’n gi´ao tr`ınh n`ay.Typeset by AMS-TEXT´ac gia’mong nhˆa.nd¯u.o..csu..chı’gi´ao cu’a c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p v`a d¯ˆo.c gia’vˆe`nh˜u.ng thiˆe´u s´ot kh´o tr´anh kho’icu’a cuˆo´n s´ach.Cˆo´D-ˆoHuˆe´,ˆA´tDˆa.uTro.ng D-ˆong (2005)Nguyˆe˜nGiaD-i.nh2CHU.O.NG I:LˆOGIC TO´AN V`ATˆA.PHO..P1.1. LˆOGIC TO´AN.1.1.1. Mˆe.nh d¯ˆe`v`a c´ac ph´ep to´an lˆogic:1.1.1.1. Mˆe.nh d¯ˆe`: Mˆe.n h d¯ ˆe`l`a mˆo.t cˆau pha’n ´anh mˆo.td¯iˆe`ud¯´ung ho˘a.c sai, ch´u.khˆong pha’iv`u.a d¯´ung v`u.a sai.Th´ıdu.:1) Sˆo´35 chia hˆe´t cho 5: mˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung.2) M˘a.t tr`o.i quay quanh tr´ai d¯ˆa´t: mˆe.n h d¯ ˆe`sai.3) Tam gi´ac ABC c´o 3 g´oc vuˆong: mˆe.n h d¯ ˆe`sai.4) 2 < 5: mˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung.C´ac cˆau ho’i, cˆau ca’m th´an, cˆau mˆe.nh lˆe.nh, ... v`a n´oi chung c´ac cˆau khˆongnh˘a`m pha’n ´anh t´ınh d¯´ung sai cu’a thu..ctˆe´kh´ach quan d¯ˆe`u khˆong d¯u.o..c coi l`amˆe.n h d¯ ˆe`.Trong lˆogic mˆe.n h d¯ ˆe`, ta khˆong quan tˆam d¯ˆe´ncˆa´u tr´uc ng˜u.ph´ap c˜ung nhu.´y ngh˜ıa nˆo.i dung cu’amˆe.n h d¯ ˆe`m`a chı’quan tˆam d¯ˆe´n t´ınh d¯´ung sai cu’amˆo˜imˆe.nhd¯ ˆe`.D-ˆe’chı’c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`chu.a x´ac d¯i.nh, ta d`ung c´ac ch˜u.c´ai: p, q, r, ... v`a go.ich´ung l`a c´ac biˆe´nmˆe.nh d¯ˆe`.Taquyu.´o.cviˆe´t p = 1 khi p l`a mˆe.nh d¯ˆe`d¯ ´ung v`ap = 0 khi p l`a mˆe.n h d¯ ˆe`sai. C´ac gi´a tri.0 v`a 1 go.i l`a c´ac gi´a tri.chˆan l´ycu’a c´acmˆe.n h d¯ ˆe`.George Boole d¯˜a nghiˆen c´u.uphu.o.ng ph´ap ta.o ra c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`m´o.ib˘a`ngc´ach tˆo’ho..pt`u.mˆo.t ho˘a.c nhiˆe`umˆe.n h d¯ ˆe`d¯˜a c´o. C´ac mˆe.n h d¯ ˆe`m´o.id¯u.o..cgo.il`ac´ac mˆe.nh d¯ˆe`ph´u.cho..p, ch´ung d¯u.o..cta.orat`u.c´ac mˆe.nh d¯ˆe`hiˆe.nc´ob˘a`ng c´achd`ung c´ac ph´ep to´an lˆogic.1.1.1.2. Ph´ep phu’d¯ i.nh: Phu’d¯ i.nh cu’amˆe.n h d¯ ˆe`p ,k´yhiˆe.ul`ap,d¯o.c l`a “khˆongp”, l`a mˆe.n h d¯ ˆe`sai khi p d¯ ´ung v`a d¯´ung khi p sai.Ph´ep phu’d¯ i.nh trong lˆogic mˆe.n h d¯ ˆe`ph`uho..pv´o.i ph´ep phu’d¯ i.nh trong ngˆonng˜u.thˆong thu.`o.ng, ngh˜ıa l`a ph`u ho..pv´o.i ´y ngh˜ıa cu’at`u.“khˆong” (“khˆong pha’i”).Th´ıdu.:1)p: “9 l`a mˆo.tsˆo´le’”(D-),p: “9 khˆong l`a mˆo.tsˆo´le’” (S).2) p: “v´o.imo.isˆo´thu..c x, y, (x + y)2< 0” (S), p: “tˆo`nta.isˆo´thu..cx, y, (x + y)2≥ 0” (D-).1.1.1.3. Ph´ep hˆo.i: Hˆo.icu’a hai mˆe.n h d¯ ˆe`p, q,k´yhiˆe.ul`ap ∧ q,d¯o.cl`a“p v`a q”,l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung khi ca’p lˆa˜n q c`ung d¯´ung v`a sai trong c´ac tru.`o.ng ho..p c`onla.i.Ph´ep hˆo.i ph`u ho..pv´o.i ´y ngh˜ıa cu’a liˆen t`u.“v`a” cu’a ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng.Th´ıdu.:1)p: “2 l`a sˆo´nguyˆen tˆo´”(D-)v`aq: “2 l`a sˆo´ch˜an” (D-)th`ıp ∧ q: “2 l`asˆo´nguyˆen tˆo´v`a l`a ch˘a˜n” (D-).32) Mˆe.nh d¯ˆe`“Sˆo´π l´o.n 3 v`a l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’” (S) l`a hˆo.icu’a hai mˆe.nh d¯ˆe`“Sˆo´π l´o.nho.n 3” (D-) v`a “Sˆo´π l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’” (S).1.1.1.4. Ph´ep tuyˆe’n: Tuyˆe’ncu’ahaimˆe.nh d¯ˆe`p, q,k´yhiˆe.u p ∨ q,d¯o.cl`a“pho˘a.c q”, l`a mˆo.tmˆe.nh d¯ˆe`sai khi ca’p lˆa˜n q d¯ ˆe`u sai v`a d¯´ung trong mo.i tru.`o.ngho..p c`on la.i.Ph´ep tuyˆe’n´u.ng v´o.i liˆen t`u.“ho˘a.c” trong ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng theo ngh˜ıakhˆong loa.itr`u., c´o ngh˜ıa l`a mˆe.n h d¯ ˆe`“p ho˘a.c q”d¯´ung khi v`a chı’khi ´ıt nhˆa´tmˆo.ttrong hai mˆe.n h d¯ ˆe`p v`a q d¯ ´ung.Th´ıdu.:1)p: “3 nho’ho.n5”(D-)v`aq: “3 b˘a`ng 5” (S) th`ı p ∨ q: “3 nho’ho.nho˘a.cb˘a`ng 5” (D-).2) p: “Paris l`a thu’d¯ ˆo n u.´o.c Anh” (S) v`a q: “6 l´o.nho.n 8” (S) th`ı p ∨ q:“Paris l`a thu’d¯ ˆo n u.´o.c Anh ho˘a.c6l´o.nho.n 8” (S).1.1.1.5. Ph´ep tuyˆe’n loa.i: Tuyˆe’n loa.icu’a hai mˆe.n h d¯ ˆe`p, q,k´yhiˆe.u p⊕ q,d¯o.cl`a “p ho˘a.c q (nhu.ng khˆong ca’hai)”, l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung khi chı’c´o mˆo.t tronghai mˆe.n h d¯ ˆe`p v`a q l`a d¯´ung v`a sai trong mo.i tru.`o.ng ho..p c`on la.i.Ph´ep tuyˆe’n loa.i´u.ng v´o.i liˆen t`u.“ho˘a.c” trong ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng theongh˜ıa loa.itr`u..Th´ıdu.: p:“√2 l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’” (S) v`a q:“√2l`amˆo.tsˆo´vˆo tı’”(D-)th`ı p ⊕ q:“√2l`amˆo.tsˆo´h˜u.utı’ho˘a.c l`a mˆo.tsˆo´vˆo tı’”(D-).1.1.1.6. Ph´ep k´eo theo: Mˆe.n h d¯ ˆe`k´eo theo p ⇒ q,d¯o.cl`a“p k´eo theo q”hay”nˆe´u p th`ı q”, l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`sai khi p d¯ ´ung v`a q sai v`a d¯´ung trong c´ac tru.`o.ngho..p c`on la.i.Trong ph´ep k´eo theo n´oi trˆen, p d¯ u.o..cgo.i l`a gia’thiˆe´t, c`on q d¯ u.o..cgo.il`akˆe´tluˆa.n.V`ı ph´ep k´eo theo xuˆa´thiˆe.no.’nhiˆe`uno.i trong c´ac suy luˆa.n to´an ho.c, nˆen c´onhiˆe`u thuˆa.tng˜u.d¯ u.o..cd`ung d¯ˆe’diˆe˜nd¯a.tmˆe.n h d¯ ˆe`p ⇒ q.Du.´o.i d¯ˆay l`a mˆo.tsˆo´th´ıdu.thu.`o.ng g˘a.p nhˆa´t.–“Nˆe´u p th`ı q”,–“p k´eo theo q”,–“T`u.p suy ra q”,–“p l`a d¯iˆe`ukiˆe.nd¯u’d¯ ˆe’c´o q”,–“q l`a d¯iˆe`ukiˆe.ncˆa`n d¯ ˆe’c´o p”.Th´ıdu.:1)“Nˆe´u hˆom nay tr`o.in˘a´ng, ch´ung tˆoi s˜e d¯i ra b˜ai biˆe’n” l`a mˆo.tmˆe.nhd¯ ˆe`k´eo theo v`a d¯u.o..c xem l`a d¯´ung tr`u.phi hˆom nay tr`o.i thu..csu..n˘a´ng, nhu.ngch´ung tˆoi khˆong d¯i ra b˜ai biˆe’n.2) “Nˆe´u hˆom nay l`a th´u.hai th`ı 3 + 5 = 7” l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`k´eo theo v`a l`ad¯ ´ung v´o.imo.i ng`ay tr`u.th´u.hai.Trong suy luˆa.n to´an ho.c, ch´ung ta x´et c´ac ph´ep k´eo theo thuˆo.c loa.itˆo’ngqu´at ho.n trong ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng. Kh´ai niˆe.m to´an ho.cvˆe`ph´ep k´eo theod¯ ˆo.clˆa.pv´o.imˆo´i quan hˆe.nhˆan - qua’gi˜u.a gia’thiˆe´tv`akˆe´t luˆa.n.4Khˆong may, cˆa´utr´uc nˆe´u - th`ı d¯u.o..c d`ung trong nhiˆe`u ngˆon ng˜u.lˆa.ptr`ınhla.i kh´ac v´o.icˆa´u tr´uc d¯u.o..c d`ung trong lˆogic to´an. D-asˆo´c´ac ngˆon ng˜u.lˆa.p tr`ınhch´u.anh˜u.ng cˆau lˆe.nh nhu.nˆe´u p th`ı S (if p then S), trong d¯´o p l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`c`on S l`a mˆo.t d¯oa.nchu.o.ng tr`ınh (gˆo`mmˆo.t ho˘a.c nhiˆe`ulˆe.nh cˆa`n pha’i thu..chiˆe.n).Khi thu..chiˆe.nmˆo.t chu.o.ng tr`ınh g˘a.pnh˜u.ng cˆa´utr´uc nhu.vˆa.y, S s ˜e d¯ u.o..c thu..chiˆe.nnˆe´u p l`a d¯´ung, trong khi d¯´o S s˜e khˆong d¯u.o..c thu..chiˆe.nnˆe´u p l`a sai.1.1.1.7. Ph´ep tu.o.ng d¯u.o.ng: Mˆe.n h d¯ ˆe`“p tu.o.ng d¯u.o.ng q”, k´y hiˆe.ul`ap ⇔ q,l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung khi p v`a q c´o c`ung gi´a tri.chˆan l´y v`a sai trong c´ac tru.`o.ngho..p c`on la.i.D-i.nh ngh˜ıa cu’a ph´ep tu.o.ng d¯u.o.ng ph`uho..pv´o.i ´y ngh˜ıa cu’acu.mt`u.“khiv`a chı’khi” hay “nˆe´u v`a chı’nˆe´u” cu’a ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng. Trong to´an ho.c,mˆe.n h d¯ ˆe`“p tu.o.ng d¯u.o.ng q”c´othˆe’diˆe˜nd¯a.tdu.´o.ida.ng: “d¯iˆe`ukiˆe.ncˆa`n v`a d¯u’d¯ ˆe’c´o p l`a c´o q”.Th´ıdu.:1)D-iˆe`ukiˆe.ncˆa`n v`a d¯u’d¯ ˆe’ABC cˆan l`a hai g´oc o.’d¯´ay cu’a n´o b˘a`ngnhau.2) Dˆa´ub˘a`ng xa’y ra trong bˆa´td¯˘a’ng th´u.c Cauchyn√a1a2...an≤a1+ a2+ ···+ annkhi v`a chı’khi a1= a2= ···= an.Sau d¯ˆay l`a ba’ng chˆan tri.cu’a c´ac ph´ep to´an lˆogic n´oi trˆen.p q p p ∧ q p ∨ q p ⊕ q p ⇒ q p ⇔ q0 0 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 1 1 0 01 1 0 1 1 0 1 11.1.1.8. C´ac ph´ep to´an lˆogic v`a c´ac ph´ep to´an bit: C´ac m´ay t´ınh d`ungc´ac bit d¯ˆe’biˆe’udiˆe˜n thˆong tin. Mˆo.t bit c´o hai gi´a tri.l`a 0 v`a 1.´Y ngh˜ıa cu’at`u.n`ay b˘a´t nguˆo`nt`u.binary digit (sˆo´nhi.phˆan). Thuˆa.tng˜u.n`ay do nh`a Thˆo´ng kˆeho.cnˆo’itiˆe´ng John Turkey d¯u.a ra v`ao n˘am 1946. Bit c˜ung c´o thˆe’d¯ u.o..cd`ung d¯ˆe’biˆe’udiˆe˜n gi´a tri.chˆan l´y. Ta s˜e d`ung bit 1 d¯ˆe’biˆe’udiˆe˜n gi´a tri.d¯ ´ung v`a bit 0 d¯ˆe’biˆe’udiˆe˜n gi´a tri.sai.Tas˜ed`ung c´ac k´yhiˆe.u NOT, AND, OR, XOR thay cho c´ac ph´ep to´an−,∧,∨,⊕ nhu.thu.`o.ng d¯u.o..c l`am trong c´ac ngˆon ng˜u.lˆa.p tr`ınh kh´ac nhau.Thˆong tin thu.`o.ng d¯u.o..cbiˆe’udiˆe˜nb˘a`ng c´ach d`ung c´ac xˆau bit, d¯´o l`a d˜ayc´ac sˆo´0 v`a 1. Khi d¯˜a l`am nhu.thˆe´, c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac xˆau bit c˜ung c´o thˆe’d¯ u.o..c d`ung d¯ˆe’thao t´ac c´ac thˆong tin d¯´o. Ta c´o thˆe’mo.’rˆo.ng c´ac ph´ep to´an bitt´o.i c´ac xˆau bit. Ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac OR bit, AND bit v`a XOR bit d¯ˆo´iv´o.i hai xˆau5bit c´o c`ung chiˆe`u d`ai l`a c´ac xˆau c´o c´ac bit cu’ach´ung l`a c´ac OR, AND v`a XORcu’a c´ac bit tu.o.ng ´u.ng trong hai xˆau tu.o.ng ´u.ng.Th´ıdu.:xˆau 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0xˆau 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1OR bit 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1AND bit 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0XOR bit 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11.1.2. Su..tu.o.ng d¯u.o.ng lˆogic cu’a c´ac cˆong th´u.c:Trong lˆogic mˆe.n h d¯ ˆe`, ngu.`o.i ta d¯u.a ra kh´ai niˆe.m cˆong th´u.c, tu.o.ng tu..nhu.kh´ai niˆe.mbiˆe’uth´u.c trong to´an ho.c.1.1.2.1. D-i.nh ngh˜ıa:1) C´ac biˆe´nmˆe.n h d¯ ˆe`p, q, r, ... l`a c´ac cˆong th´u.c,2) Nˆe´u P, Q l`a c´ac cˆong th´u.cth`ıP,P∧ Q, P ∨ Q, P ⊕ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q l`ac´ac cˆong th´u.c,3) Chı’chˆa´p nhˆa.n c´ac cˆong th´u.cd¯u.o..c th`anh lˆa.pb˘a`ng viˆe.c ´ap du.ng mˆo.tsˆo´h˜u.uha.n c´ac quy t˘a´c 1)-2).1.1.2.2. D-i.nh ngh˜ıa: Cˆong th´u.c A go.il`ah˘a`ng d¯´ung nˆe´u A nhˆa.n gi´a tri.1v´o.imo.ihˆe.gi´a tri.chˆan l´y c´o thˆe’c´o cu’a c´ac biˆe´nmˆe.n h d¯ ˆe`c´o m˘a.t trong A.Cˆong th´u.c A go.i l`a h˘a`ng sai nˆe´u A nhˆa.n gi´a tri.0v´o.imo.ihˆe.gi´a tri.chˆan l´yc´o thˆe’c´o cu’a c´ac biˆe´nmˆe.nh d¯ˆe`c´o m˘a.t trong A. Khi d¯´o ta go.i A l`a mˆo.t mˆauthuˆa’n.Mˆo.t cˆong th´u.c khˆong pha’i l`a h˘a`ng d¯´ung, c˜ung khˆong pha’i l`a mˆau thuˆa’nd¯ u.o..cgo.il`atiˆe´p liˆen.1.1.2.3. D-i.nh ngh˜ıa: Hai cˆong th´u.c A v`a B d¯ u.o..cgo.i l`a tu.o.ng d¯u.o.ng lˆogic,k´yhiˆe.u A ≡ B,nˆe´u A ⇔ B l`a mˆo.th˘a`ng d¯´ung. Hˆe.th´u.c A ≡ B c`on d¯u.o..cgo.il`amˆo.td¯˘a’ng th´u.c.1.1.2.4. C´ac tu.o.ng d¯u.o.ng lˆogic co.ba’n:1) Luˆa.td¯ˆo`ng nhˆa´t:p ∧ 1 ≡ p, p ∨ 0 ≡ p.2) Luˆa.tnuˆo´t:p ∧ 0 ≡ 0,p∨ 1 ≡ 1.3) Luˆa.tl˜uy d¯˘a’ng:p ∧ p ≡ p, p ∨ p ≡ p.64) Luˆa.tphu’d¯ i.nh k´ep:p ≡ p.5) Luˆa.t giao ho´an:p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p.6) Luˆa.tkˆe´tho..p:(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r), (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r).7) Luˆa.t phˆan phˆo´i:p ∧ (q ∨ r) ≡ (p∧ q) ∨ (p ∧ r),p∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).8) Luˆa.t De Morgan:p ∧ q ≡ p ∨ q, p ∨ q ≡ p ∧ q.9) Mˆo.tsˆo´tu.o.ng d¯u.o.ng tiˆe.n ´ıch:p ∧p ≡ 0,p∨ p ≡ 1,p ⇔ q ≡ q ⇔ p, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q)∧ (q ⇒ p),p⇔ q ≡p ⇔ q,(p ⇒ q) ≡ (p ∨ q),(p ⇒ q) ≡ (q ⇒ p).1.1.3. Suy luˆa.n to´an ho.c:1.1.3.1. Suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch: Suy luˆa.nl`ar´ut ra mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`m´o.it`u.mˆo.thaynhiˆe`umˆe.n h d¯ ˆe`d¯˜a c´o.Phˆan t´ıch c´ac suy luˆa.n trong ch´u.ng minh to´an ho.c, ngu.`o.i ta thˆa´ymˆo˜ich´u.ngminh bao gˆo`mmˆo.tsˆo´h˜u.uha.nbu.´o.c suy luˆa.nd¯o.n gia’n. Trong mˆo˜ibu.´o.c suyluˆa.nd¯o.n gia’n d¯´o, ta d¯˜a “ngˆa`m” vˆa.ndu.ng mˆo.t quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at d¯ˆe’t`u.c´ac mˆe.nh d¯ˆe`d¯ ˜a d¯ u.o..cth`u.a nhˆa.n l`a d¯´ung (tiˆen d¯ˆe`,d¯i.nh l´y, d¯i.nh ngh˜ıa, gia’thiˆe´t) c´o thˆe’r´ut ra mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`m´o.i. Ngu.`o.i ta go.i c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`xuˆa´t ph´at d¯˜ad¯ u.o..cth`u.a nhˆa.n l`a d¯´ung l`a c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`, c`on mˆe.n h d¯ ˆe`m´o.id¯u.o..c r´ut ra (nh`o.vˆa.ndu.ng c´ac quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at) go.il`ahˆe.qua’lˆogic cu’a c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`. Ph´epsuy luˆa.nnhu.thˆe´go.i l`a suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch hay go.it˘a´t l`a suy diˆe˜n.1.1.3.2. D-i.nh ngh˜ıa: Gia’su.’A1,A2,... ,An,B l`a nh˜u.ng cˆong th´u.c. Nˆe´utˆa´tca’c´ac hˆe.gi´a tri.chˆan l´ycu’a c´ac biˆe´nmˆe.nh d¯ˆe`c´o m˘a.t trong c´ac cˆong th´u.cd¯´ol`am cho A1,A2,... ,Annhˆa.n gi´a tri.1c˜ung d¯ˆo`ng th`o.i l`am cho B nhˆa.n gi´a tri.1,t´u.cl`aA1∧ A2∧ ...∧ An⇒ B l`a mˆo.t cˆong th´u.ch˘a`ng d¯´ung, th`ı ta go.i B l`a hˆe.qua’lˆogic cu’a A1,A2,... ,An. Khi d¯´o ta c˜ung n´oi r˘a`ng c´o mˆo.t quy t˘a´c suy luˆa.nt`u.c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`A1,A2,... ,Ant´o.ihˆe.qua’lˆogic B cu’ach´ung.7Quy t˘a´c suy luˆa.n d¯ ´o d¯ u.o..ck´yhiˆe.u l`a:A1,A1,... ,AnB.1.1.3.3. Mˆo.tsˆo´quy t˘a´c suy luˆa.nthu.`o.ng d`ung:1)pp ∨ q(Quy t˘a´ccˆo.ng).2)p ∧ qp(Quy t˘a´cr´ut go.n).3)p, p ⇒ qq(Quy t˘a´ckˆe´t luˆa.n - Modus ponens).4)p ⇒ q,qp(Quy t˘a´ckˆe´t luˆa.n ngu.o..c - Modus tollens).5)p ⇒ q, q ⇒ rp ⇒ r(Quy t˘a´c tam d¯oa.n luˆa.n).6)p ⇒ q, q ⇒ pp ⇔ q(Quy t˘a´cd¯u.atu.o.ng d¯u.o.ng v`ao).7)p ∨ q,pq(Quy t˘a´c t´ach tuyˆe’n).8)p ⇒ r, q ⇒ rp ∨ q ⇒ r(Quy t˘a´c t´ach tuyˆe’n gia’thiˆe´t).9)p ⇒ q, p ⇒ rp ⇒ q ∧ r(Quy t˘a´chˆo.ikˆe´t luˆa.n).10)q ⇒ pp ⇒ q(Quy t˘a´c pha’nd¯a’o).11)p ⇒ q, p ⇒ qp(Quy t˘a´c pha’nch´u.ng).Th´ıdu.:1) Cho: Nˆe´u tr`o.imu.a(p) th`ı sˆan u.´o.t(q) (d¯´ung)Tr`o.i d¯ang mu.a (d¯´ung)Kˆe´t luˆa.n: Sˆan u.´o.t (d¯´ung).2) Cho: Nˆe´u hai g´oc d¯ˆo´id¯ı’nh (p)th`ıb˘a`ng nhau (q) (d¯´ung)A v`aB khˆong b˘a`ng nhau (d¯´ung)Kˆe´t luˆa.n:A v`aB khˆong d¯ˆo´id¯ı’nh (d¯´ung).3) Cho: Mo.ih`ınh vuˆong d¯ˆe`ul`ah`ınh thoi (p ⇒ q) (d¯´ung)Mo.ih`ınh thoi c´o c´ac d¯u.`o.ng ch´eo vuˆong g´oc (q ⇒ r) (d¯´ung)Kˆe´t luˆa.n: Mo.i h`ınh vuˆong d¯ˆe`u c´o c´ac d¯u.`o.ng ch´eo vuˆong g´oc (p ⇒ r) (d¯´ung).81.1.3.4. Suy luˆa.n nghe c´o l´y: Suy luˆa.n nghe c´o l´y l`a suy luˆa.n khˆong theo mˆo.tquy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at n`ao d¯ˆe’t`u.nh˜u.ng tiˆe`n d¯ ˆe`d¯˜a c´o, r´ut ra d¯u.o..cmˆo.tkˆe´tluˆa.n x´ac d¯i.nh. Nˆe´u c´ac tiˆe`nd¯ˆe`d¯ ˆe`u d¯´ung th`ıkˆe´t luˆa.nr´ut ra khˆong ch˘a´cch˘a´nd¯ ´ung, m`a chı’c´o t´ınh chˆa´tdu..d¯o´an, gia’thuyˆe´t.Trong to´an ho.c c´o hai kiˆe’u suy luˆa.n nghe c´o l´ythu.`o.ng d`ung, d¯´o l`a– Ph´ep quy na.p khˆong ho`an to`an,– Ph´ep tu.o.ng tu...Th´ıdu.:1)T`u.d¯ i.nh l´y trong h`ınh ho.c ph˘a’ng: “Hai d¯u.`o.ng th˘a’ng c`ung vuˆongg´oc v´o.imˆo.td¯u.`o.ng th˘a’ng th´u.ba th`ı song song v´o.i nhau”, ch´ung ta nˆeu ra mˆo.t“du..d¯o´an”: “Hai m˘a.t ph˘a’ng c`ung vuˆong g´oc v´o.imˆo.tm˘a.t ph˘a’ng th´u.ba th`ı songsong v´o.i nhau”.D-ˆay l`a mˆo.tth´ıdu.vˆe`ph´ep suy luˆa.nb˘a`ng tu.o.ng tu...2) C´ac sˆo´220+1, 221+1, 222+1, 223+1, 224+ 1 l`a nh˜u.ng sˆo´nguyˆen tˆo´.Kˆe´t luˆa.n: v´o.imo.isˆo´tu..nhiˆen n,sˆo´22n+ 1 l`a sˆo´nguyˆen tˆo´.D-ˆay l`a lˆo´i suy luˆa.n quy na.p khˆong ho`an to`an d¯˜a nˆeu lˆen bo.’i Fermat (1601-1665) sau khi d¯˜a kiˆe’m nghiˆe.mv´o.i c´ac sˆo´n =0, 1, 2, 3, 4. Nhu.ng sau d¯´o Euler d¯˜achı’ra r˘a`ng v´o.i n = 5, kh˘a’ng d¯i.nh n`ay khˆong d¯´ung, ngh˜ıa l`a 225+ 1 khˆong l`a sˆo´nguyˆen tˆo´.3) 6=3+3, 8=3+5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7,....Kˆe´t luˆa.n: mo.isˆo´nguyˆen du.o.ng ch˘a˜nl´o.nho.n4l`atˆo’ng cu’a hai sˆo´nguyˆen tˆo´.Mˆe.nh d¯ˆe`n`ay mang tˆen l`a b`ai to´an Goldbach. D-ˆay l`a mˆo.t trong nhiˆe`u kh˘a’ngd¯ i.nh trong to´an ho.cchu.ad¯u.o..cch´u.ng minh.4) Phu.o.ng tr`ınh x3+ y3= z3khˆong c´o nghiˆe.m nguyˆen, phu.o.ng tr`ınhx4+ y4= z4khˆong c´o nghiˆe.m nguyˆen. Kˆe´t luˆa.n: phu.o.ng tr`ınh xn+ yn= znkhˆong c´o nghiˆe.m nguyˆen v´o.imo.isˆo´nguyˆen n>2.Mˆe.n h d¯ ˆe`n`ay d¯u.o..c nˆeu ra bo.’i Fermat n˘am 1637, go.i l`a “d¯i.nh l´y cuˆo´ic`ungcu’a Fermat”. M˜ai d¯ˆe´n th´ang 5 n˘am 1995, mˆe.nh d¯ˆe`n`ay m´o.id¯u.o..c ho`an to`anch´u.ng minh xong bo.’i nh`a to´an ho.c ngu.`o.i Anh tˆen l`a Wiles.To´an ho.c l`a khoa ho.ccu’a suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch. Tˆa´tca’c´ac vˆa´n d¯ ˆe`trong to´anho.cchı’d¯ u.o..c tr`ınh b`ay b˘a`ng c´ac suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch. Tuy nhiˆen, trong qu´a tr`ınhph´at minh, s´ang ta.o to´an ho.c, l´y luˆa.ndiˆe˜ndi.ch g˘a´nch˘a.tv´o.i c´ac suy luˆa.n nghec´o l´y. Ta d`ung quy na.p khˆong ho`an to`an hay tu.o.ng tu..d¯ ˆe’nˆeu ra c´ac gia’thuyˆe´t.Sau d¯´o m´o.ich´u.ng minh c´ac gia’thuyˆe´t n`ay b˘a`ng diˆe˜ndi.ch.1.1.4. C´ac phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh:1.1.4.1. Ch´u.ng minh l`a g`ı? Trong suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch, nˆe´ut`u.c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`A1,A2,... ,An, ta r´ut ra kˆe´t luˆa.n B b˘a`ng c´ach vˆa.ndu.ng nh˜u.ng quy t˘a´c suyluˆa.ntˆo’ng qu´at th`ı ta n´oi B l`a kˆe´t luˆa.n lˆogic cu’a c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`A1,A2,... ,Anv`asuy luˆa.n d¯´o l`a ho..p lˆogic. Nˆe´utˆa´tca’c´ac tiˆe`nd¯ˆe`A1,A2,... ,And¯ ˆe`u d¯´ung th`ıta go.ikˆe´t luˆa.n lˆogic B l`a mˆo.tkˆe´t luˆa.nch´u.ng minh v`a go.i suy luˆa.n d¯´o l`a mˆo.tch´u.ng minh.9Phˆan t´ıch c´ac ch´u.ng minh to´an ho.c ta thˆa´ymˆo˜ich´u.ng minh gˆo`mmˆo.tsˆo´h˜u.uha.nbu.´o.c, mˆo˜ibu.´o.cl`amˆo.t suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch trong d¯´o ta vˆa.ndu.ng mˆo.tquy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at. Nhu.vˆa.y, mˆo.tch´u.ng minh to´an ho.cgˆo`m ba bˆo.phˆa.ncˆa´u th`anh:1) Luˆa.nd¯ˆe`, t´u.cl`amˆe.n h d¯ ˆe`cˆa`nch´u.ng minh.2) Luˆa.nc´u., t´u.cl`anh˜u.ng mˆe.n h d¯ ˆe`d¯ u.o..cth`u.a nhˆa.n (d¯i.nh ngh˜ıa, tiˆe`n d¯ ˆe`,d¯ i.nh l´y, gia’thiˆe´t) d¯u.o..clˆa´y l`am tiˆe`n d¯ ˆe`trong mˆo˜i suy luˆa.n.3) Luˆa.nch´u.ng, t´u.c l`a nh˜u.ng quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at d¯u.o..cvˆa.ndu.ngtrong mˆo˜ibu.´o.c suy luˆa.ncu’ach´u.ng minh.1.1.4.2. Phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh tru..ctiˆe´p: Khi ta ch´u.ng minh mˆe.n h d¯ ˆe`B b˘a`ng c´ach va.ch r˜o B l`a kˆe´t luˆa.n lˆogic cu’anh˜u.ng tiˆe`n d¯ ˆe`d¯ ´ung A1,A2,... ,An,ngh˜ıa l`a B l`a mˆo.tkˆe´t luˆa.nch´u.ng minh th`ı ta n´oi l`a d¯˜a ch´u.ng minh tru..ctiˆe´pmˆe.n h d¯ ˆe`B.Th´ıdu.: H˜ay ch´u.ng minh tru..ctiˆe´pmˆe.n h d¯ ˆe`:“Nˆe´u n l`a mˆo.tsˆo´le’th`ı n2c˜ungl`a mˆo.tsˆo´le’”.Gia’su.’r˘a`ng gia’thiˆe´tcu’amˆe.n h d¯ ˆe`k´eo theo n`ay l`a d¯´ung, t´u.cl`an l`a mˆo.tsˆo´le’. Khi d¯´o n =2k + 1, v´o.i k l`a mˆo.tsˆo´nguyˆen. T`u.d¯´o suy ra n2=4k2+4k +1 =2(2k2+2k) + 1. Do d¯´o n2l`a mˆo.tsˆo´le’.1.1.4.3. Phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh t`ım pha’nth´ıdu.: Gia’su.’ta cˆa`nch´u.ngminh mˆe.n h d¯ ˆe`p sai. Nˆe´u ta t`ım d¯u.o..cmˆe.n h d¯ ˆe`q, tru.`o.ng ho..pd¯˘a.cbiˆe.tcu’a p l`asai. Khi d¯´oq d¯ ´ung v`a p ⇒ q l`a d¯´ung. Do d¯´o theo quy t˘a´ckˆe´t luˆa.n ngu.o..cth`ıpl`a d¯´ung. T`u.d¯ ´o p l`a sai.Th´ıdu.: Cho m v`a n l`a nh˜u.ng sˆo´kh´ac khˆong bˆa´tk`y. Ch´u.ng minh r˘a`ng n + m 1.1.1.1.4.4. Phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh pha’nd¯a’o: Gia’su.’ta cˆa`nch´u.ng minhp ⇒ q.Nˆe´utach´u.ng minh d¯u.o..cq ⇒ p th`ı theo quy t˘a´c pha’nd¯a’o, ta c´o p ⇒ qd¯ ´ung. Nhu.vˆa.y , d¯ ˆe’ch´u.ng minh p ⇒ q, ta c´o thˆe’chuyˆe’n sang ch´u.ng minhq ⇒ pl`a d¯u’.Th´ıdu.: Cho a l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’kh´ac 0. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u b l`a mˆo.tsˆo´vˆotı’th`ı ab c˜ung l`a mˆo.tsˆo´vˆo tı’.Ta viˆe´t a =mn,v´o.i m, n l`a hai sˆo´nguyˆen kh´ac 0. Nˆe´u ab l`a sˆo´h˜u.utı’th`ı tac´o thˆe’viˆe´t ab =klv´o.i k, l l`a hai sˆo´nguyˆen v`a l = 0. Khi d¯´o b =aba=k/lm/n=knlmv`a suy ra b l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’.1.1.4.5. Phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh pha’nch´u.ng: Co.so.’lˆogic cu’aphu.o.ngph´ap ch´u.ng minh pha’nch´u.ng l`a nhu.sau: muˆo´nch´u.ng minh mˆe.n h d¯ ˆe`p l`a d¯´ung,ta gia’thiˆe´t p l`a sai, t´u.cl`ap l`a d¯´ung. Sau d¯´o ta ch´u.ng minh r˘a`ngp ⇒ q l`a d¯´ungv`aq l`a d¯´ung. Do d¯´o theo quy t˘a´c pha’nch´u.ng th`ı p l`a d¯´ung. D-iˆe`u n`ay dˆa˜n d¯ ˆe´nmˆau thuˆa’n (luˆa.t b`ai trung).10Th´ıdu.: Ch´u.ng minh r˘a`ng u.´o.csˆo´tu..nhiˆen nho’nhˆa´t kh´ac 1 cu’amˆo.tsˆo´tu..nhiˆenl´o.nho.n1l`amˆo.tsˆo´nguyˆen tˆo´.Gia’su.’k l`a u.´o.ctu..nhiˆen nho’nhˆa´t kh´ac 1 cu’asˆo´tu..nhiˆen n (n>1) v`a kkhˆong l`a sˆo´nguyˆen tˆo´. Do d¯´o tˆo`nta.iu.´o.csˆo´m cu’a k sao cho 1 0 then x := x +1Khi g˘a.p cˆau n`ay trong chu.o.ng tr`ınh, gi´a tri.cu’abiˆe´n x o.’d¯ i ˆe’m d¯´o trong qu´atr`ınh thu..chiˆe.nchu.o.ng tr`ınh s˜e d¯u.o..cd¯˘a.t v`ao P (x), t´u.cl`ad¯˘a.t v`ao cˆau “x>0”.Nˆe´u P (x) d¯´ung d¯ˆo´iv´o.i gi´a tri.n`ay cu’a x,th`ılˆe.nh g´an x := x +1 s˜ed¯u.o..c thu..chiˆe.n v`a gi´a tri.cu’a x s˜e t˘ang lˆen 1. Nˆe´u P (x) l`a sai d¯ˆo´iv´o.i gi´a tri.d¯´o cu’a x,th`ılˆe.nh g´an s˜e khˆong d¯u.o..c thu..chiˆe.n v`a gi´a tri.x khˆong thay d¯ˆo’i.Khi tˆa´tca’c´ac biˆe´n trong h`am mˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ˆe`ud¯u.o..c g´an cho gi´a tri.x´ac d¯i.nh,th`ı mˆe.nh d¯ˆe`ta.o th`anh s˜e c´o gi´a tri.chˆan l´y. Tuy nhiˆen, c`on c´o mˆo.t c´ach quantro.ng kh´ac d¯ˆe’biˆe´n c´ac h`am mˆe.n h d¯ ˆe`th`anh c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`, m`a ngu.`o.itago.il`asu..lu.o..ng ho´a. Ta x´et o.’d¯ˆay hai loa.ilu.o..ng ho´a, d¯´o l`a lu.o..ng t`u.phˆo’du.ng v`a lu.o..ngt`u.tˆo`nta.i.Cho A l`a mˆo.ttˆa.pho..pv`aP l`a mˆo.t t´ınh chˆa´tcu’a c´ac phˆa`ntu.’cu’a A, ngh˜ıal`a P (x)l`amˆo.t h`am mˆe.n h d¯ ˆe`x´ac d¯i.nh trˆen A. X´et tˆa.pho..pAP= {x ∈ A | P (x)},17ngh˜ıa l`a tˆa.pgˆo`m c´ac phˆa`ntu.’x ∈ A sao cho P (x) d¯´ung. Du.´o.i d¯ˆay l`a c´ac tru.`o.ngho..p c´o thˆe’x˜ay ra.1.2.5.2. D-i.nh ngh˜ıa: Trong tru.`o.ng ho..p AP= A, ngh˜ıa l`a tˆa´tca’c´ac phˆa`ntu.’cu’a A d¯ ˆe`u thoa’m˜an t´ınh chˆa´t P .D-iˆe`u n`ay d¯u.o..ck´yhiˆe.u l`a:∀x ∈ A, P (x)hay go.nho.nl`a(∀x)(P ), d¯o.c l`a “v´o.imo.i x thuˆo.c A, x thoa’m˜an t´ınh chˆa´t P ”.K´y hiˆe.u ∀ (d¯o.c l`a “v´o.imo.i”) d¯u.o..cgo.il`alu.o..ng t`u.phˆo’du.ng.1.2.5.3. D-i.nh ngh˜ıa: Trong tru.`o.ng ho..p AP= ∅, ngh˜ıa l`a c´o ´ıt nhˆa´tmˆo.t phˆa`ntu.’cu’a A thoa’m˜an t´ınh chˆa´t P .D-iˆe`u n`ay d¯u.o..ck´yhiˆe.u l`a:∃x ∈ A, P (x)hay go.nho.nl`a(∃x)(P), d¯o.c l`a “c´o ´ıt nhˆa´t (hay tˆo`nta.i) phˆa`ntu.’x thuˆo.c A thoa’m˜an t´ınh chˆa´t P ”. K´y hiˆe.u ∃ (d¯o.c l`a “c´o ´ıt nhˆa´t” hay “tˆo`nta.i”) d¯u.o..cgo.il`alu.o..ng t`u.tˆo`nta.i.Lu.u´yr˘a`ng tˆa.pho..p A d¯ u.o..cgo.i l`a khˆong gian c´ac lu.o..ng t`u..1.2.5.4. Ch´u ´y: 1) Trong tru.`o.ng ho..p AP= ∅, ngh˜ıa l`a khˆong c´o phˆa`ntu.’n`aocu’a A thoa’m˜an t´ınh chˆa´t P .D-iˆe`u n`ay ch´ınh l`a mˆe.n h d¯ ˆe`:(∃x)(P )v`a trong tru.`o.ng ho..p n`ayAP= A,t´u.cl`a(∀x)(P ), trong d¯´o P k´yhiˆe.u t´ınh chˆa´tkhˆong P .Nhu.vˆa.y(∃x)(P ) ≡ (∀x)(P ).2) Trong tru.`o.ng ho..p AP= A, ngh˜ıa l`a khˆong pha’imo.i phˆa`ntu.’cu’a A d¯ ˆe`uthoa’m˜an t´ınh chˆa´t P .D-iˆe`u n`ay ch´ınh l`a mˆe.n h d¯ ˆe`:(∀x)(P )v`a trong tru.`o.ng ho..p n`ayAP= ∅,t´u.cl`a(∃x)(P ). Nhu.vˆa.y(∀x)(P ) ≡ (∃x)(P ).Th´ıdu.:1)X´ac d¯i.nh t´ınh d¯´ung sai cu’a c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`sau:(∃x ∈ R)(4x − 3=−2x + 1) l`a mˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung.(∃x ∈ Q)(x2= 2) l`a mˆe.n h d¯ ˆe`sai.(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x0) (∃δ>0) (∀x ∈ A)(|x − a| <δ⇒|f(x) − f(a)| <).Khi d¯´o b˘a`ng c´ach lˆa´yphu’d¯ i.nh ta c´o: f khˆong liˆen tu.cta.i x = b khi v`a chı’khi(∃>0) (∀δ>0) (∃x ∈ A)(|x − b| <δ∧|f(x) − f(b)|≥).B`AI TˆA.P CHU.O.NG I1.Trong c´ac cˆau sau d¯ˆay, cˆau n`ao l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`? X´ac d¯i.nh gi´a tri.chˆan l´ycu’a c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`d¯´o.a) Khˆong d¯u.o..c d¯i qua.b) Tˆo’ng c´ac g´oc trong mˆo.t tam gi´ac c´o b˘a`ng 180okhˆong?c) x l`a mˆo.tsˆo´le’.d) Sˆo´124 chia hˆe´t cho 4.e) 51 chia cho 6 d¯u.o..c8du.2.2.H˜ay d¯u.amˆo˜imˆe.nh d¯ˆe`du.´o.i d¯ ˆa y v ˆe`da.ng hˆo.i ho˘a.c tuyˆe’ncu’a c´ac mˆe.nh d¯ˆe`d¯ o.n, sau d¯´o h˜ay t`ım gi´a tri.chˆan l´ycu’a c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`d¯´o.a) 1 <√3 < 2.b) | sinπ12| > 1.c) Sˆo´235 chia hˆe´t cho 5 nhu.ng khˆong chia hˆe´t cho 2.d) 5v`a7l`ahaisˆo´le’nguyˆen tˆo´c`ung nhau.e) H`ınh thoi ABCD c´o AB = AC v`a AD ⊥ BC.3.T`ım phu’d¯ i.nh cu’a c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`sau:a) Khˆong c´o ˆo nhiˆe˜mo.’Huˆe´.b) M`ua h`e o.’TP. Hˆo`Ch´ı Minh l`a n´ong v`a n˘a´ng.c) 4 + 8 = 11.d) 225+ 1 = 4294967297 v`a khˆong pha’i l`a mˆo.tsˆo´nguyˆen tˆo´.4.H˜ay ph´at biˆe’u c´ac d¯i.nh l´y sau d¯ˆay du.´o.ida.ng mˆe.n h d¯ ˆe`k´eo theo p ⇒ q ho˘a.cp ⇔ q.a) G´oc ngo`ai cu’amˆo.t tam gi´ac b˘a`ng tˆo’ng hai g´oc trong khˆong kˆe`v´o.i n´o.19b) Mo.i d˜ay d¯o.n d¯ i ˆe.u v`a bi.ch˘a.n d¯ ˆe`u l`a d˜ay hˆo.itu..c) Mo.i h`am liˆen tu.c trˆen mˆo.t khoa’ng d¯´ong v`a bi.ch˘a.nd¯ˆe`ud¯a.t gi´a tri.l´o.nnhˆa´t v`a nho’nhˆa´t trˆen khoa’ng d¯´o.d) Nˆe´u tam gi´ac ABC l`a tam gi´ac cˆan th`ı n´o c´o hai g´oc b˘a`ng nhau v`a d¯a’ola.i.e) Mo.i d˜ay Cauchy (trong R)l`ahˆo.itu.v`a chı’c´ac d˜ay d¯´o m´o.ihˆo.itu..5.Cho p, q v`a r l`a c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`:p:Ba.nbi.c´um.q:Ba.n thi tru.o..tk`y thi cuˆo´i kho´a.r:Ba.nd¯u.o..c lˆen l´o.p.H˜ay diˆe˜nd¯a.tc´acmˆe.n h d¯ ˆe`sau th`anh nh˜u.ng cˆau thˆong thu.`o.ng:a) p ⇒ q, b)q ⇔ r,c) q ⇒r, d) p ∨ q ∨ r,e) (p ⇒r)∨ (q ⇒ r), f) (p ∧ q) ∨ (q ∧ r).6.Cho p v`a q l`a hai mˆe.n h d¯ ˆe`:p:Ba.n l´ai xe v´o.itˆo´cd¯ˆo.trˆen 60km/h.q:Ba.nbi.pha.tv`ıvu.o..t qu´a tˆo´cd¯ˆo.cho ph´ep.H˜ay viˆe´t c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`sau b˘a`ng c´ach d`ung p v`a q v`a c´ac to´an tu.’lˆogic.a) Ba.n khˆong l´ai xe v´o.itˆo´cd¯ˆo.trˆen 60km/h.b) Ba.n l´ai xe v´o.itˆo´cd¯ˆo.trˆen 60km/h nhu.ng ba.n khˆong bi.pha.tv`ıvu.o..t qu´atˆo´cd¯ˆo.cho ph´ep.c) Ba.ns˜ebi.pha.tv`ıvu.o..t qu´a tˆo´cd¯ˆo.cho ph´ep nˆe´uba.n l´ai xe v´o.itˆo´cd¯ˆo.trˆen 60km/h.d) Nˆe´uba.n khˆong l´ai xe v´o.itˆo´cd¯ˆo.trˆen 60km/h th`ı ba.n s˜e khˆong bi.pha.tv`ıvu.o..t qu´a tˆo´cd¯ˆo.cho ph´ep.e) L´ai xe v´o.itˆo´cd¯ˆo.trˆen 60km/h l`a d¯u’d¯ ˆe’bi.pha.tv`ıvu.o..t qu´a tˆo´cd¯ˆo.choph´ep.f) Ba.nbi.pha.tv`ıvu.o..t qu´a tˆo´cd¯ˆo.cho ph´ep nhu.ng ba.n khˆong l´ai xe v´o.itˆo´cd¯ ˆo.trˆen 60km/h.g) Mˆo˜ilˆa`nba.nbi.pha.tv`ıvu.o..t qu´a tˆo´cd¯ˆo.cho ph´ep l`a ba.n d¯˜a l´ai xe v´o.itˆo´cd¯ ˆo.trˆen 60km/h.7.Ph´at biˆe’umˆe.n h d¯ ˆe`d¯ a’o v`a pha’nd¯a’ocu’a c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`k´eo theo sau:a) Nˆe´u hˆom nay c´o gi´o m`ua D-ˆong B˘a´c th`ı ng`ay mai tr`o.i gi´a r´et.b) Tˆoi d¯ˆe`u d¯i ra b˜ai t˘a´mbˆa´tc´u.ng`ay n`ao tr`o.in˘a´ng.c) Nˆe´umˆo.tsˆo´chia hˆe´t cho 6 th`ı chia hˆe´t cho 2 v`a cho 3.d) Nˆe´umˆo.tsˆo´chia hˆe´t cho 9 th`ı tˆo’ng c´ac ch˜u.sˆo´cu’a n´o chia hˆe´t cho 9.8.Lˆa.pba’ng gi´a tri.chˆan l´y cho c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`ph´u.cho..p sau:a) p ⇒ (q ∨ r),b)p ⇒ (q ⇒ r),c) (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r),20d) (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r),e) (p ⇔ q) ∨ (q ⇔ r),f) (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ r).9.T`ım c´ac OR bit, AND bit v`a XOR bit cu’a c´ac c˘a.p xˆau bit sau:a) 1011110, 0100001;b) 11110000, 10101010;c) 0001110001, 1001001000;d) 1111111111, 0000000000.10.Lˆa.p c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`ph´u.cho..pgˆo`m c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`p, q v`a r sao cho n´o d¯´ung khi:a) p, q l`a d¯´ung v`a r l`a sai, nhu.ng l`a sai trong mo.i tru.`o.ng ho..p c`on la.i.b) Hai trong ba mˆe.n h d¯ ˆe`p, q v`a r l`a d¯´ung v`a sai trong mo.i tru.`o.ng ho..p c`onla.i.11.Ch´u.ng minh c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`k´eo theo sau l`a h˘a`ng d¯´ung:a) (p ∧ q) ⇒ p,b) p ⇒ (p ∨ q),c)p ⇒ (p ⇒ q),d) (p ∧ q) ⇒ (p ⇒ q),e)p ⇒ q ⇒ p,f)p ⇒ q ⇒ q,g) [(p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ r.12.Ch´u.ng to’r˘a`ng:a)p ⇔ q, q ⇔ rp ⇔ rb)p ∧q ⇒ pp ⇒ q.c)p ⇒ q, r ⇒ s(p ∧ r) ⇒ (q ∧ s).d)p ⇒ q, r ⇒ s(p ∨ r) ⇒ (q ∨ s).13.D`ung phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh tru..ctiˆe´pd¯ˆe’ch´u.ng minh mˆe.nh d¯ˆe`: “haid¯ u.`o.ng ch´eo cu’a h`ınh ch˜u.nhˆa.tth`ıb˘a`ng nhau”.H˜ay chı’ra c´ac bu.´o.c suy luˆa.n trong ch´u.ng minh.14.Ch´u.ng minh ho˘a.c b´ac bo’r˘a`ng t´ıch cu’a hai sˆo´vˆo tı’l`a mˆo.tsˆo´vˆo tı’.15.Ch´u.ng minh ho˘a.cb´acbo’r˘a`ng n2− n + 41 l`a sˆo´nguyˆen tˆo´khi n l`a sˆo´nguyˆen du.o.ng.16.D`ung phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh pha’nch´u.n g d¯ ˆe’ch´u.ng minh r˘a`ng3√3l`amˆo.tsˆo´vˆo tı’.2117.Ch´u.ng minh r˘a`ng mˆo.tsˆo´nguyˆen khˆong chia hˆe´t cho 5 th`ı b`ınh phu.o.ng cu’an´o khi chia cho 5 s˜e du.1 ho˘a.c4.18.H˜ay diˆe˜nd¯a.t c´ac mˆe.nh d¯ˆe`sau d¯ˆay b˘a`ng ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng v`a x´acd¯ i.nh t´ınh d¯´ung sai cu’ac´acmˆe.n h d¯ ˆe`d¯´o. Sau d¯´o h˜ay lˆa.pmˆe.n h d¯ ˆe`phu’d¯ i.nh cu’ac´ac mˆe.n h d¯ ˆe`trˆen.a) (∃x ∈ R)(∀y ∈ R)(x + y = 1).b) (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(x + y = 1).c) (∀n ∈ N)(∃m ∈ N)(n 1” v`a q: “sinπ12< −1”, l`a mˆe.n h d¯ ˆe`sai.c) p ∧ q,v´o.i p: “Sˆo´235 chia hˆe´t cho 5” v`a q: “Sˆo´235 khˆong chia hˆe´tcho2”, l`a mˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung.d) p∧ q,v´o.i p: “5 v`a 7 l`a hai sˆo´le’”v`aq: “5 v`a 7 l`a hai sˆo´nguyˆen tˆo´c`ungnhau”, l`a mˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung.e) p ∧ q,v´o.i p: “H`ınh thoi ABCD c´o AB = AC”v`aq: “H`ınh thoi ABCDc´o AD ⊥ BC”, l`a mˆe.n h d¯ ˆe`sai.3.a) C´o ˆo nhiˆe˜mo.’Huˆe´.b) M`ua h`e o.’TP. Hˆo`Ch´ı Minh l`a khˆong n´ong ho˘a.c khˆong n˘a´ng.c) 4+8= 11.d) 225+1= 4294967297 ho˘a.c l`a mˆo.tsˆo´nguyˆen tˆo´.4.a) p ⇒ q,v´o.i p:“α l`a g´oc ngo`ai cu’amˆo.t tam gi´ac” v`a q:“α b˘a`ng tˆo’ng haig´oc trong khˆong kˆe`v´o.i n´o”.b) p ⇒ q,v´o.i p:“(xn) l`a d˜ay d¯o.nd¯iˆe.uv`abi.ch˘a.n” v`a q:“(xn) l`a d˜ay hˆo.itu.”.c) p ⇒ q,v´o.i p:“f l`a h`am liˆen tu.c trˆen khoa’ng d¯´ong v`a bi.ch˘a.n[a, b]” v`aq:“f d¯ a.t gi´a tri.l´o.n nhˆa´t v`a nho’nhˆa´t trˆen [a, b]”.d) p ⇔ q,v´o.i p: “Tam gi´ac ABC l`a tam gi´ac cˆan” v`a q: “Tam gi´ac ABCc´o hai g´oc b˘a`ng nhau”.e) p ⇔ q,v´o.i p: “D˜ay sˆo´thu..c(xn) l`a d˜ay Cauchy” v`a q: “D˜ay sˆo´thu..c(xn)l`a hˆo.itu.”.5.a) Nˆe´uba.nbi.c´um th`ı ba.n thi tru.o..tk`y thi cuˆo´i kho´a.b) Ba.n khˆong thi tru.o..tk`y thi cuˆo´i kho´a l`a d¯iˆe`ukiˆe.ncˆa`nv`ad¯u’d¯ ˆe’ba.nd¯u.o..clˆen l´o.p.c) Ba.n thi tru.o..tk`y thi cuˆo´i kho´a l`a d¯u’d¯ ˆe’ba.n khˆong d¯u.o..c lˆen l´o.p.d) Ba.nbi.c´um ho˘a.cba.n thi tru.o..tk`y thi cuˆo´i kho´a ho˘a.cba.nd¯u.o..c lˆen l´o.p.e) Ba.nbi.c´um l`a d¯u’d¯ ˆe’ba.n khˆong d¯u.o..c lˆen l´o.p ho˘a.cba.n thi tru.o..t k`y thicuˆo´i kho´a l`a d¯u’d¯ ˆe’ba.n khˆong d¯u.o..c lˆen l´o.p.f) Ba.nbi.c´um v`a thi tru.o..t k`y thi cuˆo´i kho´a ho˘a.c khˆong thi tru.o..t k`y thicuˆo´i kho´a v`a d¯u.o..c lˆen l´o.p.24