Hệ bất phương trình bậc 2 vô nghiệm khi nào

Hướng dẫn Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung SGK Toán lớp 10, giúp các em ôn tập tốt hơn.

1. Bất phương trình bậc hai

- Bất phương trình bậc hai ẩnxlà bất phương trình dạng ax2 + bx + c < 0

(hoặc ax2 + bx + c≤ 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c≥ 0), trong đóa,b,clà những số thực đã cho,a≠0.

* Ví dụ:x2– 2 >0; 2x2+3x – 5 <0;

- Giải bất phương trình bậc haiax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợpa<0) hay trái dấu với hệ sốa(trường hợpa>0).

2. Dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét:

* Định lý:Chof(x) = ax2+ bx + c,Δ = b2– 4ac.

– NếuΔ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x∈ R.

– NếuΔ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x =-b/2a.

–NếuΔ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số akhi x x2; trái dấu với hệ số a khi x1< x < x2trong đó x1, x2(với x1 < x2)là hai nghiệm của f(x).

3.Cách xét dấu của tam thức bậc 2

– Tìm nghiệm của tam thức

– Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a

– Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

4. Giải bất phương trình bậc 2

– Giải bất phương trình bậc hai ax2+ bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2+ bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hoặc trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0).

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

5. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1:Giảibấtphương trình bậc hai.

Phương pháp:

- Bước 1:Biến đổi bất phương trình về dạng một vế là tam thức bậc hai, một vế bằng0.

- Bước 2:Xét dấu vế trái của tam thức bậc hai và kết luận nghiệm.

Dạng 2: Giải bất phương trình tích.

Phương pháp:

- Bước 1:Biến đổi bất phương trình về dạng tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

- Bước 2:Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.

Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp:

- Bước 1:Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

- Bước 2:Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.

Chú ý:Cần chú ý điều kiện xác định của bất phương trình.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng

Phương pháp:

Sử dụng một số tính chất:

- NếuΔ<0thì tam thức bậc hai cùng dấu vớiaa.

- Bình phương, căn bậc hai, giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm.

Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc hai

Phương pháp:

- Bước 1:Giải từng bất phương trình có trong hệ.

- Bước 2:Kết hợp nghiệm và kết luận.

6. Bài tập tham khảo có hướng dẫn

Bài 1:Tìm m để bất phương trìnhx2- 2(m + 1) + m2+ 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x∈ [0; 1]

Hướng dẫn giải:

Đặt x2- 2(m + 1) + m2+ 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với∀x∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2:Tìm m để bất phương trình sau(m + 2)x2- 2mx + m2+ 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

- Trường hợp 1: Với m + 2 = 0⇒ m = -2 ta được:

(1)⇔ 4x + 4 <0⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

- Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

- Trường hợp 3: m + 2 > 0⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

m > √2 và -2 < m < -√2

Vậy với |m| <√2thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3:Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 < mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m2x - mx < 4⇔ (m2- m)x < 1; m2- m = 0⇔m = {0;1}thì bất phương trình trở thành 0 < 1đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4:Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m2+ 1)x2+ (2m - 1)x - 5 < 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m∈ (-1;√6- 1)

Trong chương trình toán phổ thông việc giải bài toán tìm m để bất phương trình, phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước là tương đối khó khăn đối với nhiều học sinh. Vì vậy chuyên đề này sẽ hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán "tìm m để bất phương trình vô nghiệm"

Xét bất phương trình 

.

+ Nếu 

 thì bất phương trình luôn có nghiệm .

+ Nếu 

 thì bất phương trình luôn có nghiệm 

+ Nếu 

 và  thì bất phương trình (1) luôn đúng với mọi 

+ Nếu  và 

 thì  nên bất phương trình vô nghiệm.

Từ những nhận xét trên ta có phương pháp tìm m để bất phương trình vô nghiệm như sau : 

* Phương pháp : 

+ Nếu 

 thì các bất phương trình trên là bất phương trình bậc nhất nên chúng luôn có nghiệm.

+ Nếu  thì :

• Bất phương trình 
  
   vô nghiệm khi 
  
• Bất phương trình 
  
   vô nghiệm khi 
  
• Bất phương trình 
  
   vô nghiệm khi 
  
• Bất phương trình 
  
   vô nghiệm khi 
  

* Ví dụ minh họa :  

Ví dụ 1 . Tìm 

 để bất phương trình  vô nghiệm.

Lời giải :

Ta có 

. Bất phương trình vô nghiệm khi Chọn B.

Ví dụ 2 . Tìm  để bất phương trình 

 vô nghiệm.

Lời giải :

Ta có : 

 

Bất phương trình vô nghiệm khi 

. Chọn A.

2. Tìm m để bất phương trình dạng bậc hai vô nghiệm.

Xét bất phương trình 

 :

Khi đó bất phương trình vô nghiệm khi 

Mặt khác theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì 

.

Từ đây ta có thể rút ra phương pháp để bất phương trình bậc hai vô nghiệm như sau : 

Phương pháp : 

• 
   vô nghiệm khi 
  
• 
   vô nghiệm khi 
  
• 
   vô nghiệm khi 
  
• 
   vô nghiệm khi 
  

* Ví dụ minh họa : 

Ví dụ 1. Tìm  để bất phương trình 

 vô nghiệm.

Lời giải : 

Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi
 

 Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm  để bất phương trình 

 vô nghiệm.

Lời giải : 

 Vì hệ số của 

 còn phụ thuộc  nên ta xét hai trường hợp sau :

+ Trường hợp 1: 

 bất phương trình đã cho trở thành  Vậy bất phương trình có  nghiệm  Do đó  không tỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2 : 

.Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi
 

 Chọn C.

{{ title }}