LG a - bài 24 trang 24 sách giáo khoa (sgk) hình học 10 nâng cao
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \end{array}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(G\). Chứng minh rằng LG a Nếu \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)thì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) Lời giải chi tiết: Gọi \({G_1}\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Từ đó, ta có \(\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 .\) Theo giả thiết, \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) \(\eqalign{ Cách khác: Gọi M là trung điểm BC ta có: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GM} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GM} \end{array}\) Do đó A, G, M thẳng hàng; G nằm giữa A, M và \(AG = 2GM \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM\) Vậy G là trọng tâm tam giác. LG b Nếu có điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)thì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Lời giải chi tiết: Gọi \( {G_1}\)là trọng tâm tam giác \(ABC\). Từ đó, ta có \(\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 .\) \(\eqalign{ Cách khác: Ta có: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \end{array}\) Vậy G là trọng tâm tam giác (theo câu a).
|