LG a - bài 8 trang 212 sbt đại số 10
|
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3.{\left( {\dfrac{{a + 1}}{{2a}}} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{4{a^2}}} - {\left( {a + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2}\left( {\dfrac{3}{{4{a^2}}} - 1} \right) = 0\\ \Rightarrow {\left( {a + 1} \right)^2}\left( {3 - 4{a^2}} \right) = 0\end{array}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} - 2(a + 1)x + {(a + 1)^2}a = 0\) (E) Kí hiệu S là tổng, P là tích các nghiệm (nếu có) của phương trình trên. LG a Với giá trị nào của a, phương trình (E) có nghiệm? Lời giải chi tiết: +) TH1: a=0 phương trình trở thành \( -2x=0\Leftrightarrow x=0\) nên phương trình có nghiệm. +) TH2: \(a\ne 0\). Phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta ' = {(a + 1)^2} - {(a + 1)^2}{a^2} \) \(= {(a + 1)^2}(1 - {a^2}) \ge 0\) \( \Leftrightarrow - 1 \le a \le 1,a \ne 0\). Vậy với \(- 1 \le a \le 1\) thì phương trình có nghiệm. LG b Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của (E). Lời giải chi tiết: Với \(-1\le a\le 1,a\ne 0\) ta có: \(P = {(a + 1)^2}\) \(P = 0 \Leftrightarrow a = - 1\), khi đó \({x_1} = {x_2} = 0\). \(P > 0,\forall a \ne - 1\), khi đó \({x_1},{x_2}\) cùng dấu. Xét \(a\ne -1, a\ne 0\) ta có: \(S = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\) +) \(S > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 0\\a < - 1\end{array} \right.\) Kết hợp điều kiện \( - 1 \le a \le 1,\) \(a \ne 0,a \ne - 1\) ta được \(S < 0 \Leftrightarrow 0 < a \le 1\) Khi đó hai nghiệm cùng dương. +) \(S < 0 \Leftrightarrow - 1 < a < 0\), khi đó hai nghiệm cùng âm. Vậy: Với \(0 < a \le 1\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều dương; LG c Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với a. Lời giải chi tiết: Từ \(S = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\) suy ra \(a = \dfrac{2}{{S - 2}}\). Do đó: \(P = {\left( {\dfrac{2}{{S - 2}} + 1} \right)^2} = \dfrac{{{S^2}}}{{{{(S - 2)}^2}}}\) \( \Leftrightarrow {(S - 2)^2}P - {S^2} = 0\) LG d Với những giá trị nào của a, các nghiệm \({x_1},{x_2}\) của (E) thỏa mãn hệ thức \({x_1} = 3{x_2}\)? Tìm các nghiệm \({x_1},{x_2}\) trong mỗi trường hợp đó. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\\{x_1} = 3{x_2}\end{array} \right. \) \(= > 4{x_2} = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\) \(\Leftrightarrow {x_2} = \dfrac{{a + 1}}{{2a}}\) \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = {(a + 1)^2}\\{x_1} = 3{x_2}\end{array} \right. \) \(= > 3x_2^2 = {(a + 1)^2}.\) \(\begin{array}{l} \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\a = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\) Với a = - 1 ta có \({x_1} = {x_2} = 0\); Với \(a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)ta có: \({x_2} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{6};{x_1} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{2}\); Với \(a = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)ta có: \({x_2} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 3 }}{6};{x_1} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 3 }}{2}\);
|
