Phương trình mũ đưa về phương trình tích
|
Phương trình \({a^x} = m\left( {0 < a \ne 1} \right)\) được gọi là phương trình mũ. - Với \(m > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}m\). - Với \(m \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số. Phương pháp: - Bước 1: Biến đổi các lũy thừa về cùng cơ số. - Bước 2: Sử dụng kết quả \({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( {0 < a \ne 1} \right)\) - Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ở trên và kết luận.
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp: - Bước 1: Tìm một lũy thừa chung, đặt làm ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn. - Bước 2: Giải phương trình chứa ẩn phụ, kiểm tra điều kiện. - Bước 3: Thay ẩn phụ và giải phương trình đối với ẩn ban đầu. - Bước 4: Kết luận nghiệm.
Dạng 3: Phương pháp logarit hóa. Phương trình có dạng \({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}}\left( {0 < a,b \ne 1;\left( {a,b} \right) = 1} \right)\). Phương pháp: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định. - Bước 2: Lấy logarit cơ số \(a\) (hoặc \(b\)) hai vế: \({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}\left[ {{a^{f\left( x \right)}}} \right] = {\log _a}\left[ {{b^{g\left( x \right)}}} \right] \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right){\log _a}b\) - Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(x\). - Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Dạng 4: Phương trình đưa về phương trình tích. Phương pháp: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có) - Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích \(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) - Bước 3: Giải các phương trình \(A = 0,B = 0\) tìm nghiệm. - Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
Dạng 5: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số. Phương pháp: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định. - Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau: Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến. Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(f\) là hàm số đơn điệu. - Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên. - Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình. Phương pháp: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có) - Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích \(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) - Bước 3: Giải các phương trình \(A = 0,B = 0\) tìm nghiệm. - Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
Với Giải phương trình logarit bằng cách đưa về phương trình tích cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Giải phương trình logarit bằng cách đưa về phương trình tích từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.  Dùng các biến đổi tương đương để đưa phương trình về dạng f(x).g(x)=0. Câu 1:Phương trình log2( 3x-4) .log2x= log2x có tổng bình phương các nghiệm là: A. 6. B. 5. C. 4 D. 17 Lời giải: Điều kiện: Theo đầu bài ta có: log2( 3x-4) .log2x= log2x hay log2x [ log2( 3x-4) -1]= 0
Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 Tổng bình phương các nghiệm là 22= 4. Chọn C. Câu 2:Phương trình log2x + 2log5x= 2+ log2x.log5x có tích các nghiệm là: A. 21. B. 20. C. 22. D. 24 Lời giải: Điều kiện x > 0. Theo đầu bài ta có: log2x + 2log5x= 2+ log2x.log5x Hay log2x( log5x- 1) – 2( log5x- 1) =0 Suy ra( log5x-1) (log2x- 2) = 0
Vậy 2 nghiệm của phương trình đã cho là 4; 5 và tích 2 nghiệm của phương trình là 20. Chọn B. Câu 3:Tổng các nghiệm của phương trình log2x- logx.log2( 4x)+2log2x=0 là: A. 100. B. 101. C. 102. D. 103 Lời giải: Điều kiện: x > 0
Tổng các nghiệm của phương trình là 101. Chọn B. Câu 4:Phương trình log2x+ log3x= log2x. log3x) + 1 có số nghiệm là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải: Điều kiện: x > 0 Từ phương trình đã cho ta suy ra: (log2x- 1)+ ( log3x- log2x. log3x) = 0 Hay ( log2x- 1)+ log3x( 1- log2x) = 0 Suy ra ( 1- log3x) ( 1- log2x) =0
Thỏa mãn điều kiện; vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm. Chọn C. Câu 5:Phương trình A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải: Điều kiện: x > 0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 2 và 1 ; hiệu của nghiệm lớn và nghiệm bé là 1. Chọn A. Câu 6:Giải phương trình log2x.log3x+x.log3x +3= log2x+ 3log3x+x. Ta có tổng các nghiệm là: A. 4 B. 9. C. 35. D. 5 Lời giải: Điều kiện : x > 0 log2x.log3x+x.log3x +3= log2x+ 3log3x+x hay (log2x.log3x- log2x) +(x.log3x-x) +(3- 3log3x)=0 suy ra: log2x( log3x- 1)+ x( log3x- 1) - 3( log3x- 1) =0 Tương đương ( log3x- 1) ( log2x+ x-3) =0
Thỏa mãn điều kiện; vậy tổng hai nghiệm của phương trình là 5. Chọn D. 09:04:5318/12/2018 Các em đã ôn tập về luỹ thừa trong bài hướng dẫn trước, trong phần này chúng ta sẽ ôn lại kiến thức về phương trình mũ và bất phương trình mũ. Nếu các em chưa nhớ các tính chất của hàm số mũ, các em có thể xem lại Tại Đây A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. Phương trình mũ cơ bản + Là dạng phương trình ax = b; (*), với a, b cho trước và 0 - Nếu b≤ 0: Phương trình (*) vô nghiệm - Nếu b>0: II. Phương pháp giải Phương trình mũ và Bất phương trình mũ 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số - Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: af(x) = ag(x) ⇔ a = 1 hoặc - Logorit hoá và đưa về cùng cơ số: * Dạng 1: Phương trình af(x) = b ⇔ * Dạng 2: Phương trình: af(x) = bg(x) ⇔ hoặc: * Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) b) * Lời giải: a) ⇔ ⇔ x2 - x + 8 = 2 - 6x ⇔ x2 + 5x + 6 = 0 ⇔ x= -2 hoặc x = -3 b) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 1 2. Phương pháp dùng ẩn phụ * Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau: B1: Đưa PT, BPT về dạng ẩn phụ quen thuộc. B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ. B3: Giải PT, BPT với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện. B4: Thay giá trị t tìm được vào giải PT, BPT mũ cơ bản B5: Kết luận. * Loại 1: Các số hạng trong PT, BPT có thể biểu diễn qua af(x) nên đặt t = af(x). - Hay gặp một số dạng sau: + Dạng 1: Aa2f(x) + Baf(x) + C = 0 ⇒ bậc 2 ẩn t. + Dạng 2: Aa3f(x) + Ba2f(x) + Caf(x) + D = 0 ⇒ bậc 3 ẩn t. + Dạng 3: Aa4f(x) + Ba2f(x) + C = 0 ⇒ trùng phương ẩn t. > Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình, Bpt vẫn chứa x ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn. * Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với af(x) và bf(x). - Hay gặp một số dạng sau: + Dạng 1: Aa2f(x) + B(a.b)f(x) + Cb2f(x) = 0 ⇒ Chia 2 vế cho a2f(x) đưa về loại 1 dạng 1 + Dạng 2: Aa3f(x) + B(a2.b)f(x) + C(a.b2)f(x) + D.b3f(x) = 0 ⇒ Chia 2 vế cho a3f(x) đưa về loại 1 dạng 2 º Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho an.f(x) hoặc bn.f(x) với n là số tự nhiên lớn nhất có trong Pt Sau khi chia ta sẽ đưa được Pt về loại 1. Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo + Dạng 1: A.af(x) + B.bf(x) + C = 0 với a.b=1 ⇒ Đặt ẩn phụ t = af(x) ⇒ bf(x) = 1/t + Dạng 2: A.af(x) + B.bf(x) + C.cf(x) = 0 với a.b=c2. ⇒ Chia 2 vế của Pt cho cf(x) và đưa về dạng 1. 3. Phương pháp logarit hóa + Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó PT, BPT mũ cơ bản (phương pháp này gọi là logarit hóa) + Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng af(x).bg(x).ch(x)=d (tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c). B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Bất phương trình mũ cơ bản - Xét bất phương trình ax > b - Nếu b≤0, tập nghiệm của bất PT là R vì ax > 0 với mọi x∈R - Nếu b>0, thì BPT tương đương với ax > - Nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > logab * Lời giải: a) 2-x=28 ⇔ -x =8 ⇔ x =-8 b) 2-x=8 ⇔ 2-x= 23 ⇔ -x =3 ⇔ x =-3 c) ⇔ x2 - 4x = 0 ⇔ x(x - 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4 d) (cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a - b + c =0 nên có 1 nghiệm x = -1 nghiệm còn lại x = -c/a = -2) * Bài tập 2: Giải các phương trình mũ sau a) * Lời giải: a) b) (cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a + b + c =0 nên có 1 nghiệm x = 1 nghiệm còn lại x = c/a = 2) c) 2x+1 + 2x-2 = 36 ⇔ 2.2x + 2x/4 = 36 ⇔ 8.2x + 2x = 144 ⇔ 9.2x = 144 ⇔ 2x = 16 ⇔ 2x = 24 ⇔ x = 4 * Giải phương trình mũ áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ * Bài tập 3: Giải các phương trình mũ sau a) 9x - 4.3x + 3 = 0 b) 9x - 3.6x + 2.4x = 0 c) 5x + 51-x -6 = 0 d) 25x -2.5x - 15 = 0 * Lời giải: a) 9x - 4.3x + 3 = 0 đặt t = 3x với t>0 ta được phương trình: t2 - 4.t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3 (2 nghiệm đều thoả điều kiện t>0). với t = 1 ⇔ 3x = 1 ⇔ x=0 với t = 3 ⇔ 3x = 3 ⇔ x=1 b) 9x - 3.6x + 2.4x = 0 chia 2 vế của phương trình cho 4x ta được phương trình sau t2 - 3.t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2 (2 nghiệm đều thoả t>0) với t = 1 ⇔ (3/2)x = 1 ⇔ x=0 với t = 2 ⇔ (3/2)x = 2 ⇔ c) 5x + 51-x -6 = 0 ⇔ 5x + 5.5-x -6 = 0 Đặt t = 5x (với t>0) thì 5-x = 1/t ta được phương trình: với t = 1 ⇔ 5x = 1 ⇔ x=0 với t = 5 ⇔ 5x = 5 ⇔ x=1 d) d) 25x -2.5x - 15 = 0 ⇔ 52x - 2.5x - 15 = 0 đặt t = 5x với t>0 ta được phương trình t2 - 2t - 15 = 0 ⇔ t = 5 (nhận) hoặc t = -3 (loại) với t = 5 ⇔ 5x = 1 ⇔ x=0 * Giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit hoá * Bài tập 4. Giải các phương trình mũ sau a) 3x = 2 b) 2x.3x = 1 * Lời giải: a) 3x = 2 ta logarit cơ số 3 hay vế Pt ⇔ log33x = log32 ⇔ x = log32 b) 2x.3x = 1 ⇔ (2.3)x = 1 ⇔ 6x = 1 ⇔ log66x =log61 ⇔ x = 0 hoặc có thể làm như sau, lấy logarit cơ số 2 của 2 vế ta được Pt ⇔ log2(2x.3x) = log21 ⇔ log2(2x.3x) = 0 ⇔ log22x + log23x = 0 ⇔ x+ x.log23 = 0 ⇔ x(1+ log23) = 0 ⇔ x = 0 * Giải các bất phương trình mũ sau * Bài tập 5: Giải bất phương trình a) 2x-1 < 5 b) 0,3x+2>7 c) e) * Lời giải: a) 2x-1 < 5 ⇔ x - 1 < log25 ⇔ x < 1+log25 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: b) 0,3x+2>7 ⇔ x + 2 < log0,37 ⇔ x < -2 + log0,37 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: c) Ta có: BPT ⇔ x2+3x-4 > 2(x-1) ⇔ x2 + x - 2 > 0 ⇔ x<-2 hoặc x>1 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: d) BPT ⇔ 33(1-2x) < 3(-1) ⇔ 3-6x<-1 ⇔ 6x-4>0 ⇔ x>(2/3) Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: e) BPT ⇔ ⇔ x > 8(x-2) ⇔ 16 > 7x ⇔ x < 16/7 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: f) Ta có: ⇔ Khi đó ta có BPT ⇔ ⇔ x-1 ≥ x2-3 ⇔ -x2 + x + 2 ≥ 0 ⇔ -1≤x≤2 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: * Bài tập 6. Giải các PT, BPT mũ sau (tự giải) a) 36x - 3.30x +2.25x = 0 b) 3x+1 = 5x-2 c) 52x+1 - 7x+1 = 52x + 7x d) e) f) 9x - 3.6x + 2.4x > 0 g) 25x - 6.5x +5 > 0
Hy vọng với phần ôn tập về phương trình và bất phương trình mũ ở trên giúp các em hiểu rõ hơn về nội dung này, mọi thắc mắc các em hãy để lại bình luận dưới bài viết để được hỗ trợ, chúc các em học tập tốt. |
