Phương trình sin x 100 12 với 00 x 1800 có nghiệm là
|
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCChương 1HSLG - PTLGI.Số tiết20Nhận biết20Thông hiểu20Vận dụng14Vận dụng cao8Câu hỏi nhận biếtCâu 1. Chọn đáp án đúngA. Hàm số lượng giác có tập xác định là R;B. Hàm số y = tanx có tập xác định là R;C. Hàm số y = cotx có tập xác định là R;D. Hàm số y = sinx có tập xác định là R.Câu 2: Xét trên tập xác định thì thì khẳng định nào sau đây là đúngA. Hàm số y = sinx là hàm số chẵn;B. Hàm số y = cosx là hàm số chẵn;C. Hàm số y = tanx là hàm số chẵn;D. Hàm số y = cotx là hàm số chẵn.Câu 3: Xét trên tập xác định thì khẳng định nào sau đây là đúngA. Hàm số lượng giác có tập giá trị là[-1;1];B. Hàm số y = tanx có tập giá trị là[-1;1] ;C. Hàm số y = cotx có tập giá trị là[-1;1] ;D. Hàm số y = sinx có tập giá trị là[-1;1].Câu 4: Xét trên tập xác định thì khẳng định nào sau đây là saiA. Hàm số y = sin2x là hàm số lẻ;B. Hàm số y = cos2x là hàm số lẻ ;C. Hàm số y = tan2x là hàm số lẻ;D. Hàm số y = cot2x là hàm số lẻ .Câu 5: Xét trên tập xác định thì khẳng định nào sau đây là đúngA. Hàm số lượng giác tuần hoàn với chu kì π ; B.Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì π ;C. Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π ;D. Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì π .Câu 6: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đồ thị đối xứng qua trục Oy?A. y = cosx;B. y = sinxCâu 7: Mệnh đề nào sau đây sai ?C. y = tanxπA. Hàm số y = cotx giảm trong khoảng 0; ÷2D. y = cotx.ππB. Hàm số y = tanx tăng trong khoảng 0; ÷2πC. Hàm số y = cosx tăng trong khoảng 0; ÷ D. Hàm số y = sinx tăng trong khoảng 0; ÷223π 5πCâu 8: Hàm số nào sau đây là hàm số luôn đồng biến trên khoảng ; ÷22A. Hàm số lượng giácB. Hàm số y = tanx;C. Hàm số y = cosx;D. Hàm số y = cotx.Câu 9: Xét trên tập xác định thì hàm số nào sau đây có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất?A. Đồ thị hàm số lượng giác ;B. Đồ thị hàm số y = tanx ;C. Đồ thị hàm số y = cotx ;D. Đồ thị hàm số y = cosx.Câu 10: Xét trên tập xác định thì khẳng định nào sau đây là đúngA. Đồ thị hàm số lượng giác đi qua gốc tọa độ;C. Đồ thị hàm số y = sinx đi qua gốc tọa độ;Câu 11: Hàm số y = cotx có tập xác định là:B. Đồ thị hàm số y = cosx đi qua gốc tọa độ;D. Đồ thị hàm số y = cotx đi qua gốc tọa độ.A. D = R\ { kπ, k ∈ Z }B. D = R\ {π + k2π, k ∈ Z }C. D = R\ { k2π, k ∈ Z }D. D = R\ {π - k2π, k ∈ Z }Câu 12: Phương trình sinx = a ( |a| < 1 ) có công thức nghiệm làA. x = α + kπ, k ∈ Z; x = π – α + kπ, k∈ ZB. x = α + k2π, k ∈ Z; x = π – α + k2π, k∈ ZC. x = α + kπ, k ∈ Z; x = – α + kπ, k∈ ZD. x = α + k2π, k ∈ Z; x = – α + k2π, k∈ ZCâu 13: Phương trình cosx = a ( |a| < 1 ) có công thức nghiệm làA. x = α + kπ, k ∈ Z; x = π – α + kπ, k∈ ZB. x = α + k2π, k ∈ Z; x = π – α + k2π, k∈ ZC. x = α + kπ, k ∈ Z; x = – α + kπ, k∈ ZD. x = α + k2π, k ∈ Z; x = – α + k2π, k∈ Z0Câu 14: Phương trình tanx = tanβ có công thức nghiệm làA. x = β0 + k1800, k ∈ Z;B. x = - β0 + k1800, k ∈ Z;C. x = β0 + k3600, k ∈ Z;D. x = - β0 + k3600, k ∈ Z;Câu 15: Phương trình cotx = a có công thức nghiệm làA. x = - arccot a + kπ, k ∈ Z;B. x = - arccot a + k2π, k ∈ Z;C. x = arccot a + kπ, k ∈ Z;D. x = arccot a + k2π, k ∈ Z;Câu 16: Phương trình sinx = 0 có công thức nghiệm làA. x = k2π, k ∈ Z;B. x = π+ 2kπ, k ∈ Z;C. x = π + kπ, k ∈ Z;D. x = kπ, k ∈ Z;Câu 18: Phương trình cosx = -1 có công thức nghiệm làA. x = 1800 + k3600, k ∈ Z;B. x = 600 + k3600, k ∈ Z;C. x = 900 + k3600, k ∈ Z;D. x = 1500 + k3600, k ∈ Z;Câu 19: Phương trình cotx = 1 có công thức nghiệm là:A. x = -450 + k1800, k ∈ Z;B. x = 450 + k1800, k ∈ Z;C. x = 450 + k3600, k ∈ Z;D. x = - 450 + k3600, k ∈ Z;Câu 20: Xét trên tập xác định thì thì khẳng định nào sau đây là đúngA. 2 sinx – 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinxC. 2 tanx – 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinxB. 2 sinx – 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với cosxD. 2 cotx – 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với tanxII.Câu hỏi thông hiểuCâu 1: Tập xác định của hàm số y =cot xlà:cos x − 1A. D = R \ { k 2π ; k ∈ Z }B. D = R \ { kπ ; k ∈ Z } kπC. D = R \ ; k ∈ Z 2πD. D = R \ + k 2π ; k ∈ Z 2x πCâu 2: Hàm số y = cot + ÷ xác định khi:2 6A.x≠−π+ k 2π , k∈Z12B.x≠−π+ kπ , k∈Z6C.x≠−π+ k 2π , k∈Z6D.x≠−π+ k 2π , k∈Z3πCâu 3: Hàm số y = tan + ÷ xác định khi:3 6xπ+ k 3π , k ∈ Z12A.x ≠ π + k 3π , k∈Z, k ∈ ZB. x ≠ −C.x ≠ π + k 6π , k ∈ ZD.x≠−π+ k 3π , k ∈ Z3πCâu 4: Hàm số y = tan 2 x − ÷ xác định khi:3A.x≠ππ+k ,k∈Z122B.x≠5ππ+k ,k∈Z122C.x≠5π+ kπ , k ∈ Z12D.x≠π+ kπ , k ∈ Z12Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2sin x + 1 là:A. 1B. 2C. 3Câu 6: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2cosx + 3 là:A. 4B. 5D. 4C. 2D. 3C. [-2; 4]D.Câu 7: Tập giá trị của hàm số y = s inx − 3 là:A.[ −3;1] .B.[ −4; 2] .[ −4; −2] .Câu 8: Phương trình nào sau dây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sinx = 0?A. cosx = -1;B. cosx = 1;C. tanx = 0;0Câu 9: Phương trình tan(2 x + 12 ) = 0 có nghiệm là:A.x = −120 + k 90 0 , k ∈ ZD. cotx = 0B. x = −60 + k 900 , k ∈ ZC. x = −60 + k 3600 , k ∈ ZD.x = −60 + k1800 , k ∈ ZCâu 10: Cho phương trình: sin(2 x − 30o ) = −1 , nghiệm của pt là:A.x = −30o + k180o , k ∈ ΖB. x = −90o + k 3600 , k ∈ ΖC. x = 30o + k 360o , k ∈ ΖD.Câu 10: Cho phương trình: cos( x − 40o ) =x = 450 + k1800 , k ∈ Ζ−1, nghiệm của pt là:2A. x = 160o + k 3600 , k ∈ Ζo0 x = −160 + k 360B. x = 450 + k1800 , k ∈ ΖC. x = 160o + k 3600 , k ∈ Ζo0 x = −80 + k 360D.x = ±120o + k180o , k ∈ Ζπ3Câu 11: Phương trình cot( x − ) =có nghiệm là:6A.x=3π+ kπ , k ∈ Z6C. x = −B. x =π+ kπ , k ∈ Z3D.x=π+ k 2π , k ∈ Z3π+ kπ , k ∈ Z2πCâu 12: Cho phương trình: sin( 2 x − ) + 1 = 0 , nghiệm của pt là:6A.x=−C. x =π+ kπ , k ∈ Ζ6B. x =π+ kπ , k ∈ Ζ4D.π+ k 2π , k ∈ Ζ6x=−π+ k 2π , k ∈ Ζ2πCâu 13: Cho phương trình: tan(2 x − ) + 3 = 0 , nghiệm của pt là:4A.x=−C. x =ππ+ k ,k ∈ Ζ242B. x = ±3π+ k 2π , k ∈ Ζ4π+ kπ , k ∈ Ζ14D. Đáp số khácCâu 14: Cho phương trình: 2 cos 2 x + 2 = 0 , nghiệm của pt là:A.x=±C. x =3π+ kπ , k ∈ Ζ83π+ k 2π , k ∈ Ζ8B. x = ±π+ kπ , k ∈ Ζ4x=−π+ kπ , k ∈ Ζ6D.πCâu 15: Cho phương trình: cot(3x − ) − 1 = 0 , nghiệm của pt là:4B. x = ±A. Vô NghiệmC.x=ππ+ k ,k ∈Ζ .63D.x=π+ kπ , k ∈ Ζ .14π+ k 2π , k ∈ Ζ6Câu 16: Cho phương trình:tan( x+ 1) = 3, nghiệm của pt là:A. x = -1 - arctan 3 + kπ; k ∈ Z.B. x = -1 + arctan 3 + kπ; k ∈ Z.C. x = arctan 3 + kπ; k ∈ Z.D. Đáp án khácCâu 17: Cho phương trình: 4 + sin(- x+ 100) = 3, nghiệm của pt là:A. x = 1000 + k3600 , k ∈ ZB. x = 1000 + k1800 , k ∈ ZC. x = -1000 + k3600 , k ∈ ZD. x = -1000 + k1800 , k ∈ ZCâu 18: Cho phương trình: cos ( 3π + x ) +1 = 0 , nghiệm của pt là:A. x = -π+ k2π; k ∈ Z.B. x = k2π; k ∈ Z.C. x = -2π+ k2π; k ∈ Z.D. Đáp án khácCâu 19: Phương trình cos x = m+1 có nghiệm khi:A. m ∈ [ −2;0] .B. m ∈ [ −2; 2] .C. m ∈ [ −1;1] .D. m ∈ [ 0; 2] .Câu 20: Phương trình tan( 2x - 450) = m2 - 1 có nghiệm khi:A. m ∈ [ −2;0] .III.C. m ∈ [ −1;1] .B. ∀ m ∈ RD. m ∈ [ 0; 2] .Câu hỏi vận dụngCâu 1: Cho hàm số: y = 1 − sin x − 1 , GTLN và GTNN của hàm số là:A.2 − 1 và - 2B.2 và 1C. Đáp án khácD.2 − 1 và - 1Câu 2: Cho hàm số: y = 2sin 2 x − 1 , GTNN của hàm số là:A. 1B. 3C. 2Câu 3: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số lẻ?D. 4A.y = sin 2 x.tan x .B.y = cos3 x − sin 2 x .C.y = cos x tan 5x .D.y = cot 4 x.t an3x .Câu 4: Số nghiệm của phương trình :π2 cos x + ÷ = 1 với 0 ≤ x ≤ 2π là :3A. 4B. 3C. 1D. 2000Câu 5: Các nghiệm của phương trình tan ( x + 15 ) = 1 với 90 < x < 270 là:A.x = 2350B. x = 2100C.Câu 6: Các nghiệm của phương trình sin ( x + 200 ) =A.x = 100 ; x = 1700x = 1350D. x = 24001với 00 < x < 1800 là:2B. x = 500 ; x = 1300C. x = 500 ; x = 1700D.x = 100 ; x = 1300 πCâu 7: Cho phương trình: 2 cos 2 x + 1 = 0 , số nghiệm của pt thuộc khoảng 0; ÷là:2A. 1B. 3C. 2πCâu 8: Số nghiệm của phương trình : sin x + ÷ = 1 với π ≤ x ≤ 3π là :4D. 4A. 2B. 3C. 12Câu 8: Phương trình 2sin x + sin x − 3 = 0 có nghiệm là:D. 0A.x = kπ , k ∈ Zπ2B. x = + k 2π , k ∈ ZC.x =π+ kπ , k ∈ Z2π6D. x = − + k 2π , k∈ZCâu 9: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác: 2.sin2x - 3.sinx + 1 = 0 thoả điều kiện 0 ≤ x <π2ππ5ππB. x =C. x =D. x =6462Câu 10: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác: cos²x - cosx = 0 thoả điều kiện 0 < x < πA. x =A. x = -π2B. x =π2C. x = 0D. x = πCâu 11: Phương trình sin 2 x + 3sin x − 4 = 0 có nghiệm là:A.x = π + k 2π , k ∈ ZB. x =C. x = kπ , k ∈ ZD.x=Câu 12: Phương trìnhπ+ kπ , k ∈ Z2π+ k 2π , k ∈ Z2có nghiệm là:A.πx=−+ kπ4,k∈Z x = − π + kπ3C.πx=+ kπ4,k∈Z x = − π − kπ3B.πx=+ kπ4,k∈Z x = π + kπ3D.πx=+ kπ4,k∈Z x = π + kπ3Câu 13: Phương trình sin x + 3 cos x = 0 có nghiệm âm lớn nhất bằng:A. −2π3B. −π6C. −π3D. −5π6Câu 14: Phương trình sin x + 3 cos x = 0 có nghiệm dương nhỏ nhất bằng:A.IV.2π3B.5π6C.π3D.π6Câu hỏi vận dụng caoCâu 1: Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1). Pt nào sau đây tương đương với pt (1)A. sin5x . sinx = 0B. sinx cos4x = 0C. sinx cos3x = 0D. sin4x .sin2x = 0Câu 2: Nghiêm của pt sin4x – cos4x = 0 là:A.x=−π+ kπ , k ∈ Z4C. x = 3π + k 2π , k ∈ Z4B. . x = π + k . π , k ∈ Z4D.x=±2π+ k 2π , k ∈ Z4Câu 3: Phương trình sin 3x − 4 sin x.cos 2x = 0 có các nghiệm là:A. x = k2π,n,k∈Z x = ± π + nπ3C.πx = k 2,n,k∈Z x = ± π + nπ4Câu 4: Phương trình sin 2 2x − 2 cos 2 x +A.x =±C.x=±π+kπ, k∈ Z6π+ kπ , k∈ Z3B. x = kπ,n,k∈Z x = ± π + nπ6D.2πx = k 3,n,k∈Z x = ± 2π + nπ33= 0 có nghiệm là:4B.D.π+ kπ , k∈ Z42πx=±+ kπ , k∈ Z3x=±1Câu 5: Phương trình sin x + cos x = 1 − sin 2x có nghiệm là:2A.ππx = 6 + k 2, k∈ Zx = k π4B.π x = 8 + kπ, k∈ Zx = k π2C.π x = 4 + kπ , k∈ Z x = kπD.π x = 2 + k2π , k∈ Z x = k2πCâu 6: Phương trìnhA.x=tan x1π= cot x + ÷ có nghiệm là:21 − tan x 24ππ+ k , k∈ Z123B.x=ππ+ k , k∈ Z62C.x=ππ+ k , k∈ Z84D.x=π+ kπ , k∈ Z3πxx44Câu 7: Phương trình sin x − sin x + ÷ = 4sin cos cos x có nghiệm là:222A.x=3π+ kπ , k∈ Z4B.C.x=3π+ kπ , k∈ Z12D.Câu 8: Phương trình 2 tan x + cot 2x = 2sin 2x +ππ+ k , k∈ Z122C. x = ± π + kπ , k∈ Z3A.x=±3ππ+ k , k∈ Z823ππx=+ k , k∈ Z162x=1có nghiệm là:sin 2xB. . x = ± π + kπ , k∈ Z6D. x = ± π + kπ , k∈ Z9
Lượng giác 11Bài 2. Phương trình lượng giácBài 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁCI. Kiến thức cơ bản:1. Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác.Tổng quát: m ∈[– 1 ; 1], n ∈ R. u = arcsin m + k2π• sinu = m⇔ u = π − arcsin m + k2π•tanu = n⇔ u = arctan n + kπ(chú ý đk) u = arccos m + k2π⇔ • cotu = n⇔ u = arc cot n + kπ (chú ý đk) u = − arccos m + k2π123 3; ±0;±1;±;±3Nếu m, n là các số đặc biệt : m ∈ 0; ±1; ± ; ±,n∈ thì :222 3 u = v + k 2π• sinu = sinv⇔ • tanu = tanv ⇔ u = v + kπ (chú ý đk) u = π − v + k 2π u = v + k 2π• cosu = cosv ⇔ • cotu = cotv ⇔ u = v + kπ (chú ý đk) u = −v + k 2π•cosu = m Chú ý: Các trường hợp đặc biệt:πsinx = – 1 ⇔ x = –+ k2π2sinx = 0⇔ x = kππsinx = 1⇔ x=+ k2π2cosx = – 1 ⇔x = (2k + 1)πcosx = 0⇔x=cosx = 1⇔x = k2ππ+ kπ2tanx = – 1 ⇔ x = –tanx = 0π+ kπ4⇔ x = kππtanx = 1 ⇔ x =+ kπ4πcotx = – 1 ⇔ x = –+ kπ4πcotx = 0 ⇔ x =+ kπ2πcotx = 1 ⇔ x =+ kπ4 Khi gặp dấu trừ ở trước thì:– sinx = sin(– x)– cosx = cos(π – x)– tanx = tan(– x)– cotx = cot(– x) Khi giải phải dùng đơn vò là rad nếu đề bài không cho độ (0).2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác.Là các phương trình mà sau khi biến đổi ta được một trong các dạng sau (a ≠ 0):• asin2u + bsinu + c = 0 (1)• acos2u + bcosu + c = 0(1)Đặt t = sinu. Điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1.Đặt t = cosu. Điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1.2(1) ⇔ at + bt + c = 0…(1) ⇔ at2 + bt + c = 0…•atan2u + btanu + c = 0 (1)Điều kiện: cosu ≠ 0.Đặt t = tanu, (1) ⇔ at2 + bt + c = 0…•acot2u + bcotu + c = 0(1)Điều kiện: sinu ≠ 0.Đặt t = cotu, (1) ⇔ at2 + bt + c = 0… Chú ý: Nếu phương trình có chứa tanu, cotu, sin2u, cos2u, tan2u, cot2u,.. đặt t = tanu, khi đó:12t2t1 − t21 + t2cot u = , sin2u =, cos2u =, tan2u =, cot2u =.t1 + t21 − t21 + t22t3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển).asinx + bcosx = c(1) với a, b, c ∈ R, và a2 + b2 ≠ 0 Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2 + b2 ≥ c2Gv:Trần Quốc NghóaTrang 9Lượng giác 11Bài 2. Phương trình lượng giác Chia 2 vế phương trình cho a2 + b 2 , ta được:absinx+cosx =a2 + b 2a2 + b 2aVì 22 a +b2 Chú ý:a2 + b 22ab = 1 nên đặt cosα =22 , sinα =2a +ba + b2csin(x + α) =rồi giải như phương trình cơ bản.2a + b2 b + 22 a +bKhi đó ta được:cx Ngoài ra ta có thể dùng công thức tính sinx, cosx theo t = tan .2Sau đây là cách giải:xĐặt t = tan . Điều kiện x ≠ π + k2π22t1− t2⇒sinu =vàcosu=1 + t21+ t22t1− t2(1) ⇔ a.+b.= c ⇔ (a + c)t2 – 2bt + c – a = 0 (2)1+ t21+ t2Giải (2) tìm nghiệm t1, t2 nếu có, rồi sau đó giải phương trìnhxxtan = t1, tan = t2 để tìm nghiệm x (phải thỏa điểu kiện)22 Nếu a = b có thể dùng công thức sau để giải:ππsinx ± cosx = 2 sin(x ± ) = 2 cos(x )444. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương trình đẳng cấp).asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0(1)22Hoặca′sin x + b′sinxcosx + c′cos x = d(2)2222(2) ⇔ a′sin x + b′sinxcosx + c′cos x = d(sin x + cos x)⇔ (a′– d)sin2x + b′sinxcosx + (c′– d)cos2x = 0(2′)Phương trình (2′) cũng là dạng (1), nên ta chỉ xét dạng (1). Nếu gặp dạng (2) thì tađưa về dạng (1) như trên.Sau đây là cách giải dạng (1):cos x = 0 Nếu a = 0 và b, c ≠ 0 thì (1)⇔ cosx.(bsinx + ccosx) = 0 ⇔ b sin x + c cos x = 0sin x = 0 Nếu c = 0 và b, a ≠ 0 thì (1)⇔ sinx.(asinx + bcosx) = 0 ⇔ a sin x + b cos x = 0 Nếu a, b, c ≠ 0: Kiểm tra xem với cosx = 0 thì (1) có thỏa hay không? (cosx = 0 thì sinx = ± 1). Nếuπthỏa thì kết luận rằng phương trình có 1 họ nghiệm là x =+ kπ (k ∈ Z).2 Với cosx ≠ 0, chia 2 vế của (1) cho cos2x, ta được phương trình:atan2x + btanx + c = 0(1′)(1′) là phương trình bậc 2 theo tanx, ta đã biết cách giải (Xem phần 2).π Nghiệm của (1) là nghiệm của (1′) và x =+ kπ (nếu có).2 Chú ý: Ngoài ra ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa (1) về dạng phương trình bậcnhất theo sinX và cosX (Phần 3). Với:Gv:Trần Quốc NghóaTrang 10Lượng giác 11Bài 2. Phương trình lượng giác1 − cos 2x1 + cos 2x12, cos x =, sin x. cos x = sin 2x222322 Phương trình đẳng cấp bậc 3: asin x + bsin xcosx + c.sinxcos x + dcos3x = 0 giải tương tựnhư đẳng cấp bậc 2.5. Phương trình đối xứng – Phản đối xứng.Dạng1:a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c(1)πĐặt t = sinx + cosx = 2 sin(x + )Điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 24t2 −1⇔ t2 = 1 + 2sinxcosx ⇔ sinxcosx =22t −1(1) ⇔ at + b.=c⇔bt2 + 2at – b – 2c = 0(2)2Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2πGiải phương trình 2 sin(x + ) = t để tìm x.4Dạng 2:a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c(1)πĐặt t = sinx – cosx = 2 sin(x – 4 )Điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 221− t⇔ t2 = 1 – 2sinxcosx ⇔ sinxcosx = 21 − t2(1) ⇔ at + b. 2 = c⇔bt2 – 2at – b + 2c = 0(2)Giải phương trình (2), chọn nghiệm thỏa điều kiện: – 2 ≤ t ≤ 2πGiải phương trình 2 sin(x – ) = t để tìm x.4Dạng 3:a|sinx ± cosx| + bsinxcosx = c(1)πĐặt t = |sinx ± cosx| = 2 sin(x ± 4 )Điều kiện: 0 ≤ t ≤ 2Giải tương tự như trên.6. Phương trình lượng giác không mẫu mực.A ≥ 0 ∧ B ≥ 0A = 0⇔ a. Trường hợp 1: Tổng hai số không âm: A + B = 0B = 0A ≤ M ≤ BA = M⇔ b. Trường hợp 2: Phương pháp đối lập:A = BB = MA ≤ M và B ≤ NA = M⇔ c. Trường hợp 3: Sử dụng tính chất :A + B = M + NB = Nsin u = 1sin u = 1⇔• sinu + sinv = 2• sinu – sinv = 2 ⇔ sin v = 1sin v = −1sin u = −1sin u = −1• sinu + sinv = – 2 ⇔ • sinu – sinv = – 2 ⇔ sin v = −1sin v = −1sin 2 x =Tương tự cho các trường hợp cosu ± cosv = ± 2 và cosu ± cosv ± 2.A ≤ M và B ≤ NA = M⇔ ∨d. Trường hợp 4: Sử dụng tính chất :A.B = M.NB = N•••A = − MB = − Nsin u = −1 sin u = 1∨sinu.sinv = –1 ⇔ sin v = 1sin v = −1sin u = 1 sin u = −1∨sinu.sinv = 1 ⇔ •sin v = 1 sin v = −1Tương tự cho các trường hợp cosu.cosv = ±1, sinu.cosv = ±1, cosu.sinv = ±1.Gv:Trần Quốc NghóaTrang 11Lượng giác 11Bài 2. Phương trình lượng giácII. Bài tập tự luận:Phương trình cơ bản – Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giácBài 1. Giải các phương trình sau:31) sinx = –2sinx =cos(3x –4)sin2x = – 15)7)π1cos 2x + = −328)10) tan(3x – 300) = –33πx π13) tan − = tan82 4321x019) sin + 10 = −2216) cos(3x – 450) =142)11)π2)=–621cos(2x + 500) =2πcot 4x − = 36sin4x =17)sin3x = –20)323) 2cosx –2Bài 2. Giải các phương trình sau:π1) cos2x . cot x − = 043) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 05) sin2x . cotx = 07) (2cos2x – 1)(2sin2x – 3 ) = 09) tan(2x + 600)cos(x + 750) = 011) (sinx + 1)(2cos2x – 2 ) = 0Bài 3. Giải các phương trình sau:21) sin(2x – 150) =với – 1200 < x < 9002π13) sin 2x − = −với 0 < x < 2π3212sinx = –7)tan(x – 100) = 1Gv:Trần Quốc Nghóa3 =06)cos(x – 2) =9)12)12252πtan2x = tan7π3cot x + =3 33xcot + 200 = −3318) sin(2x – 150) =21) sin2x =24)22323 tan3x – 3 = 0x x cot − 1 cot + 1 = 03 2 4) (cotx + 1) . sin3x = 06) tan(x – 300)cos(2x – 1500) = 08)(3tanx + 3 )(2sinx – 1) = 010) (2 + cosx)(3cos2x – 1) = 012) (sin2x – 1)(cosx + 1) = 02)2)4)với – π < x < 06)với – 150 < x < 1508)Bài 4. Giải các phương trình sau:1) cos3x – sin2x = 03) sin3x + sin5x = 05) sinx – cos(x + 600) = 0ππ7) sin x + = − sin 2x − 349) sin3x = cos2x11) sin2x + cos3x = 013) tanx . tan3x = 1sin(x – 600) =15)321cos(x + 3) =322) cos(2x + 500) = –5)2314)3)cos(2x + 10 =12π3tan 2x + = −433cos(x – 2) =2πsin x + ÷= 14với – π < x < πvới 0 < x < πvới x ∈ [0 ; π]với x ∈ [π ; 2π]2)4)6)tanx tan2x = – 1cot2x cot3x = 1cos(x – 100) + sinx = 0πcos 2x − = − cos x8)410) cosx = – sin2x12) tan(3x + 2) + cot2x = 014) cot2x.cot(x + 450) = 1Trang 12Lượng giác 11Bài 2. Phương trình lượng giácππ15) cos 2x − − sin − x = 04317) tan3x + tanx = 0Bài 5. Giải các phương trình sau:11) sin2x =2)44) sin2(x – 450) = cos2x5)ππcos 2x + + cos x − = 03618) tan3x + tan(2x – 450) = 016)4cos2x – 3 = 03)sin23x – cos2x = 08cos3x – 1 = 06)tan2(x + 1) = 3Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lượng giácBài 6. Giải các phương trình sau:1)2cos2x – 2( 3 + 1)cosx +3)5)7)9)2)2cos2x + 4sinx + 1 = 0cos2x + 9cosx + 5 = 04)sin2x – 2cos2x +cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1ππ5cos2(x + ) + 4cos( − x ) =3621– 1 + tanx – 3 (tanx + 1) = 0cos2 x6)11) 2cos2x +3 +2=02 cosx – 2 = 08)10)12)3=04cot4x – 4cot2x + 3 = 04tan2x –+5=0cos x1 − tan 2 xcos4x – 3+2=01 + tan 2 x2cos2x – 3cosx + 1 = 0xx4 cos2 − 2( 2 + 1) cos + 2 = 022xx4 cot 2 − 2( 3 − 1) cot − 3 = 03213) 6sin2x – 5sinx – 4 = 014)15) tan 2 3x + (1 − 3) tan 3x − 3 = 016)17)18) cos2x + sinx + 1 = 03 tan 2 x − (1 + 3) tan x + 1 = 0Bài 7. Giải các phương trình sau:1) tan3x – 3tan2x – 2tanx + 4 = 0π1−x3) tan3x – 1 ++2cot÷=3cos2 x25)7)1 + sin3x = sinx + cos2x117cos2 x ++ cos x −− =02cos x 4cos x2)4sin3x + 4sin2x – 3sinx = 34)2sin2x = 1 + sin3x6)tan2x + cot2x + 2(tanx + cotx) = 615+ cot 2 x + (tan x + cot x) + 2 = 022cos x8)Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Phương trình cổ điển)Bài 8. Giải các phương trình sau:623 cos4x =1)sinx – cosx =2)3)sin4x +4)5)7)3cos(2x – 15 ) + sin(2x – 150) = – 1cosx + 4sinx + 1 = 09)2sinx – 2 cosx =210) sinx –11) cosx – 3 sinx =212) 3sin3x – 4cosx = 5013) 5cos2x + 12sin2x – 13 = 06)8)3 cosx + sinx = – 22sinx – 9cosx =852cosx – 3sinx + 2 = 02 sin2x + 3cos2x = 414) 3sinx +3 cos2x = 13 cosx = 1Bài 9. Giải các phương trình sau:1)2sin22x +Gv:Trần Quốc Nghóa3 sin4x = – 32)πcosx + 3 sinx = 2 cos − x ÷3Trang 13Lượng giác 11Bài 2. Phương trình lượng giác3)ππ 3 22sin x + ÷ + sin x − ÷ =4425)3sin3x –7)9)6=63 cos x + 4sin x + 14)3cosx + 4sinx =3 cos9x = 1 + 4sin 3xππ 5 22cos x + ÷ + 3cos x − ÷=6326)5cos(2x + 180) – 12sin(2x + 180) = –138)sin2x + sin2x =2sin2x +10) 3cos2x – sin2x – sin2x = 033 sin2x = 31211) 4sinxcosx = 13 sin4x + 3cos2x12) 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)1314) cosx –2sin17x +15) sin9x +3 cos5x + sin5x = 03 cos7x = sin7x +3 cos9xx– 3sinx – 4 = 021 − cos 4xsin 4x=19)2sin 2x 1 + cos 4x17) 8sin23 sinx = 2cos3x16) sin5x + cos5x =2 cos13x18)1 + sin x 1=1 + cos x 220)3cosx – 4sinx =2=33 cos x − 4 sin x − 6Bài 10. Tìm giá trò nhỏ nhất, lớn nhất của các hàm số sau:1)y = 2sinx +3)y = sin2x + cos2x – 22)3 cosx + 14)y = 2sin2x + 4sinxcosx + 3sin x + cos x − 1y=sin x − cos x + 3Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Phương trình đẳng cấp)Bài 11. Giải các phương trình sau:1) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 03) sin2x + sin2x – 2cos2x = ½5) sin2x – 10sinxcosx + 21cos2x = 07)cos2x –23 sin2x – sin x = 19)2)4)6)3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 22cos2x + sin2x – 4sin2x = – 4cos2x – 3sinxcosx + 1 = 08)2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 03sin2x – 2 3 sinxcosx + cos2x – 1 = 011) 3cos2x + sinxcosx + 2sin2x = 210) 4sin2x – 3 3 sin2x – 2cos2x = 412) 3cos2x + 3sinxcosx + 2sin2x = 11314)23 cos x – sin2x –23 sin x = 123 sin2x + 2cos x – 1 = 015) 2cos2x + 3sin2x – 8sin2x = 016) 3cos2x + 2sin2x – sin2x = 2 +17) sin x + cos x = sinx + cosx19) sin3x – 5sin2xcosx – 3sinxcos2x + 3cos3x = 018) sin x + 2sin xcosx – 3cos x = 020) cos3x – 4cos2xsinx + cosxsin2x + 2sin3x = 033*Phương trình đối xứng – Phản đối xứng*Bài 12. Giải các phương trình sau:1) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 03) 2sinx + cosx+ 3sin2x = 25) tanx + cotx = 2 (sinx + cosx)7) 3(sinx + cosx) – sin2x – 3 = 09)cosx +1110+ sinx +=cos xsin x332332)4)6)8)(cosx – sinx) + 2sin2x – 1 = 0sinx – cosx+ 4sin2x = 1(1 + sin2x)(cosx – sinx) = cos2x2sin4x + 3(sin2x + cos2x) + 3 = 0π10) sin2x – 2 sin x + ÷ + 1 = 04Phương trình lượng giác không mẫu mựcBài 13. Giải các phương trình sau:1) sin25x + 1 = cos23x3) sinx + cosx = 2 (2 – sin3x)5) (cos4x – cos2x)2 = 4 + cos23x7) cos5x.sin3x = 1Gv:Trần Quốc Nghóa2)4)6)8)sin2x – 2sinx + 2 = sin23x2cos2x = 3sin25x + 2sinx + cosx = tanx + cotxsin2x + sin3x + sin4x = 3Trang 14Lượng giác 11Bài 2. Phương trình lượng giácPhương trình dạng khác (tổng quát)Bài 14. Giải các phương trình sau:1) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x3) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 25) 4sin3x + sin5x – 2sinxcos2x = 07) cos2x – cos8x + cos6x = 19) sin2x + cos2x + sin3x = cos3x11) cos8x.cos5x = cos7x.cos4x13 2tan2x – 3tanx + 2cot2x + 3cosx – 3 = 015) cos2x + 4sin4x = 8cos6x17) 3 + 2sinx.sin3x = 3cos2x19) sinx+sin2x+sin3x = 1+cosx+cos2x+cos3x21) tanx + cot2x = 2cot4x23) tanx + tan2x = sin3x.cosx1 + cos 2xsin 2x=25)cos x1 − cos 2x27) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx112+=29)cos 2x sin 2x sin 4x2)4)6)8)10)12)14)16)18)20)22)24)sin24x + sin23x + sin22x + sin2x = 2sin2x + sin2x = cos23x + cos24xsin2x + sin22x = sin23xsinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0sin6x.sin2x = sin5x.sinxsin7x.cosx = sin5x.cos3xsin3x + sin5x + sin7x = 0sinx = 2 sin5x – cosxsinx+sin2x+sin3x = cosx+cos2x+cos3x1 + cosx + cos2x + cos3x = 02cos2x + sin10x = 15tanx – 2cotx = 3cos 2x26) sin x + cos x =1 − sin 2x328) 4sin x = sinx + cosx3 − cos 6x30) sin4x + cos4x =4Phương trình lượng giác có tham sốBài 15. Đònh m để phương trình:1) msinx – 2m + 1 = 02) mcosx – 2m + 1 = (2m – 1)cosx3) msinx + 1 = 2(sinx + m)4) cos2x – sinx.cosx – 2sin2x = m5) (m + 2)sinx – 2mcosx = 2(m + 1)6) mcos2x + (m + 1)sin2x = m + 27) sinx + mcosx = 18) (m + 2)sinx + mcosx = 29) (m2 + 2)cos2x – 2msin2x + 1 = 010) sin2x – 4(cosx – sinx) = mcó nghiệmcó nghiệmvô nghiệmcó nghiệmcó nghiệmcó nghiệmvô nghiệmvô nghiệmcó nghiệmcó nghiệmPhương trình lượng giác trong các đề thi đại học, cao đẳng1)2)3)4)5)6)7)8)9)cos3x + sin 3x 5 sin x +÷ = cos 2x + 31 + 2sin 2x sin23x – cos24x = sin25x – cos26xcos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 , với x ∈ [0 ; 14]cos 2x1cot x − 1 =+ sin 2 x − sin 2x1 + tan x22cot x − tan x + 4sin 2x =sin 2xx πxsinh 2 − ÷tan 2 x − cos2 = 022 45sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x(2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinxcos23x.cos2x – cos2x = 0Gv:Trần Quốc NghóaĐH – A – 2002ĐH – B – 2002ĐH – D – 2002ĐH – A – 2003ĐH – B – 2003ĐH – D – 2003ĐH – B – 2004ĐH – D – 2004ĐH – A – 2005Trang 15Lượng giác 11Bài 2. Phương trình lượng giác10) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0ππ 311) sin4x + cos4x + cos x − ÷.sin 3x − ÷− = 044 2x3π − 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2 x − (với x ∈ (0 ; π)24 π313) 2 2 cos x − − 3 cos x − sin x = 04πcos 2 x − 1214) tan( + x) − 3 tan x =2cos 2 x 3πsin x=215) tan − x ÷+ 2 1 + cos x212) 4 sin16) sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 02(cos6 x + sin 6 x) − sin x cos x=017)2 − 2sin xx18) cot x + sin x 1 + tan x.tan ÷ = 4219) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 02+3 220) cos3x.cos3x – sin3x.sin3x =8π21) 2sin 2 x − + 4 sin x + 1 = 06222) (2sin x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 023) cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 024) cos3x + sin3x + 2sin2x = 125) 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 026) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x27) 2sin22x + sin7x – 1 = sinxĐH – B – 2005ĐH – D – 2005Dự bò 1 ĐH – A – 2005Dự bò 2 ĐH – A – 2005Dự bò 2 ĐH – B – 2005Dự bò 1 ĐH – D – 2005Dự bò 2 ĐH – D – 2005ĐH – A – 2006ĐH – B – 2006ĐH – D – 2006Dự bò 1 ĐH – A – 2006Dự bò 2 ĐH – A – 2006Dự bò 1 ĐH – B – 2006Dự bò 2 ĐH – B – 2006Dự bò 1 ĐH – D – 2006Dự bò 2 ĐH – D – 2006ĐH – A – 2007ĐH – B – 20072xx28) sin + cos ÷ + 3 cos x = 22211−= 2 cot 2x29) sin 2x + sin x −2sin x sin 2x30) 2 cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x)3x 5x π x π31) sin − − cos − = 2 cos2 2 42 4sin 2x cos 2x+= tan x − cot xcos xsin xπ33) 2 2 sin x − cos x = 112 34) (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx 7π11+= 4sin − x÷3π 35) sin x 4sin x − ÷232)36) sin3x –3223 cos x = sinxcos x – 3 sin xcosx37) 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosxGv:Trần Quốc NghóaĐH – D – 2007Dự bò 1 ĐH – A – 2007Dự bò 2 ĐH – A – 2007Dự bò 1 ĐH – B – 2007Dự bò 2 ĐH – B – 2007Dự bò 1 ĐH – D – 2007Dự bò 2 ĐH – D – 2007ĐH – A – 2008ĐH – B – 2008ĐH – D – 2008Trang 16Lượng giác 11Bài 2. Phương trình lượng giácIII.Bài tập trắc nghiệm:1. Nghiệm của phương trình sinx = cosx là:πππππⒶ x=+ k2πⒷ x=–+ k2πⒸ x=+kⒹ x = ± + k2π.444242. Nghiệm của phương trình 1 – cos2x = 0 là:ππⒶ x=+ k2πⒷ x = k2πⒸ x = kπⒹ x=+ k2π.243. Nghiệm của phương trình tan2x = 0 là:ππⒶ x = k2πⒷ x= kⒸ x = kπⒹ x=+ kπ.24x14. Nghiệm của phương trình cos = là:423π4π3ππ4ππ+ k8π+ k8π+k+kⒶ x= ±Ⓑ x= ±Ⓒ x= ±Ⓓ x= ±434838π25. Nghiệm của phương trình cos x + += 0 là:42π+ k 2πⒶ x=Ⓑ x = (2 k − 1)πⒸ Cả A và BⒹ Đáp án khác26. Nghiệm của phương trình cosx + cos 3 = 0 là:Ⓐ x = ± (π − 3 ) + k 2 πⒷ x = ± arccos 3 + k 2πⒸ x = ± arccos − 3 + k 2πⒹ x = arccos 3 + k 2ππ 37. Nghiệm của phương trình cos x + + = 0 là:3 733Ⓐ x = ± arccos 7 + kπⒷ x = ± arccos 7 + k 2π 3 3Ⓒ x = ± arccos − 7 + kπⒹ x = ± arccos − 7 + k 2π8. Nghiệm của phương trình tan4x – 1 = 0 là:ππππππ+ k 2π+kⒶ x=Ⓑ x=Ⓒ x = − + k 2πⒹ x= − +k16164161649. Nghiệm của phương trình cot3x + 1 = 0 là:ππππππ+ k 2π+kⒶ x=Ⓑ x = − + k 2πⒸ x=Ⓓ x= − +k1212123123310. Nghiệm của phương trình cot(x + 300) += 0 là:3Ⓐ x = 900 + k1800Ⓑ x = – 300 + k1800 Ⓒ x = –900 + k1800 Ⓓ x = –300 + k360011. Nghiệm của phương trình cos(x – 100) + sinx = 0 là:Ⓐ x = 1400 + k1800 Ⓑ x = –1400 + k3600 Ⓒ x = –1400 + k1800 Ⓓ x = 1400 + k3600π12. Nghiệm của phương trình sin6x = sin là:7ππππⒶ x=+kⒷ x=+kⒸ Cả 2 nghiệm trên Ⓓ Kết quả khác42373π13. Nghiệm của phương trình sinx – cos x + = 0 là:3ππππππⒶ x= –– kⒷ x=– kⒸ x= –– k2π Ⓓ x =– k2π242242242414. Nghiệm của phương trình sin(2x + 300) = sinx là:Ⓐ x = 300 + k3600Ⓑ x = 500 + k1200Ⓒ Cả 2 nghiệm trên Ⓓ Kết quả khác15. Nghiệm của phương trình cot3x = 0 là:(Gv:Trần Quốc Nghóa)Trang 17Lượng giác 11Bài 2. Phương trình lượng giácπππππ+ kπⒷ x=+ kπⒸ x=+ k2πⒹ x=+k2626316. Một nghiệm của phương trình sin2x – cosx = 0 là:π2ππππ2πⒶ x=+kⒷ x=+ k2πⒸ x=+ kπⒹ x=+k236263017. Nghiệm của phương trình sinx + sin(x – 10 ) = 0 là:Ⓐ x = 50 + k1800Ⓑ x = –50 + k1800Ⓒx = 50 + k3600Ⓓ x = –50 + k360018. Nghiệm của phương trình tan(x – 100) + cot2x = 0 là:Ⓐ x = 1000 – k1800 Ⓑ x = –1000 – k1800 Ⓒ x = 800 – k1800 Ⓓ x = 800 + k1800119. Số nghiệm của phương trình sin2x = − trên (– π ; 0) là:2Ⓐ 1Ⓑ 2Ⓒ 3Ⓓ 4320. Số nghiệm của phương trình cos(x – 2) =trên [0 ; π] là:2Ⓐ 1Ⓑ 2Ⓒ 3Ⓓ 400021. Số nghiệm của phương trình tan(x – 10 ) = 1 trên (–15 ; 15 ) là:Ⓐ 0Ⓑ 1Ⓒ 2Ⓓ 322. Phương trình nào sau đây vô nghiệm:27Ⓐ πcos(2x – 1) + 3 = 0Ⓑ 2008cosx – 2007 = 0Ⓒ (1 + 2 )cos7x + 1 = 0Ⓓ cosx + cos2007 = 023. Với giá trò nào của m thì phương trình sinx + m + 1 = 0 có nghiệm.Ⓐ m≥–1Ⓑ m≤–1Ⓒ 0≤m≤2Ⓓ – 2 ≤ m ≤ 0.224. Với giá trò nào của m thì phương trình sinx – m + 1 = 0 vô nghiệm.Ⓐ m≥–1Ⓑ m<– 2 ∨ m> 2 Ⓒ – 2 ≤ m ≤ 2Ⓓ m ≤ – 1.25. Giá trò của m để phương trình (m + 1)cosx + 1 – m = 0 có nghiệm là:Ⓐ m≥0Ⓑ m≤0Ⓒ m>0 Ⓓ m<0 Ⓓ m<0 |
