Tìm m để 2 phương trình tương đương Toán 10
Phương pháp áp dụng
Cho hai phương trình f(x, m) = 0 (1) và g(x, m) = 0 (2)
1. Xác định tham số để phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) (nói cách khác “Để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2)”), ta thực hiện theo các bước sau: Thí dụ 1. Cho hai phương trình: $\sqrt {x + 1} - 2 = 0$, (1) và x$^2$ - 2mx - m$^2$ - 2 = 0. (2) Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).Biến đổi (1) về dạng: $\sqrt {x + 1} = 2$ <=> x + 1 = 4 <=> x = 3. Do đó, để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) điều kiện là x = 3 cũng là nghiệm của (2), tức là: 9 - 6m - m$^2$ - 2 = 0 <=> m$^2$ + 6m - 7 = 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 7\end{array} \right..$ Vậy, với m = 1 hoặc m = -7 thoả mãn điều kiện đầu bài. * Nhận xét: Như vậy, trong lời giải của thí dụ trên ta đã không sử dụng mẫu phương pháp điều kiện cần và đủ bởi các lý do sau:
Thí dụ 2. Cho hai phương trình: x$^2$ - (m + 2)x + m + 1 = 0, (1) x$^3$ - 2x$^2$ - mx - m$^2$ + 3 = 0. (2) Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).Điều kiện cần: Nhận xét rằng với mọi m phương trình (1) luôn có nghiệm x = 1. Do đó, để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) trước hết cần x = 1 cũng là nghiệm của (2), tức là: 1 - 2 - m - m$^2$ + 3 = 0 <=> m$^2$ + m - 2 = 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right..$. Đó chính là điều kiện cần của m. Điều kiện đủ: Ta lần lượt:Với m = 1, ta được: (1) <=> x$^2$ - 3x + 2 = 0 <=> x = 1 hoặc x = 2. (2) <=> x$^3$ - 2x$^2$ - x + 2 = 0 <=> (x - 1)(x$^2$ - x - 2) = 0 <=> x = ±1 hoặc x = 2. suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2), tức m = 1 thoả mãn.Với m = -2, ta được: (1) <=> x$^2$ - 1 = 0 <=> x = ±1. (2) <=> x$^3$ - 2x$^2$ + 2x - 1 = 0 <=> (x - 1)(x$^2$ - x + 1) = 0 <=> x = 1. suy ra x = -1 không là nghiệm của (2), tức m = -2 không thoả mãn.Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Đã gửi 03-07-2013 - 21:37
pt $(1)$ và $(2)$ tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm Gọi $x_{0}$ là một nghiệm chung của hai pt, ta có $\left\{\begin{matrix} x_{0}^{2}-mx_{0}+2m-3=0 \\ x_{0}^{2}-(m^{2}+m-4)x_{0}+1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow (m^2+m-4)x_{0}-1-mx_{0}+2m-3=0$ $\Leftrightarrow (m-2)\left [ (m+2)x_{0}+2 \right ]=0$ Khi $m=2$ thì ta có đpcm Khi $x_{0}=-\frac{2}{m+2}(m\neq -2)$, thay vào $(1)$ và biến đổi, ta được $2m^3+7m^2-8=0$ (pt vô nghiệm) Vậy $m=2$ thì hai pt tương đương.
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại” -Mark Twain $WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
- Bài toán: Cho 2 phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 có chứa tham số m. Tìm m để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung - Cách giải: + B1: Tìm điều kiện của m để 2 phương trình cùng có nghiệm + B2: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình. Tìm x0 + B3: Thế x0 tìm được vào một trong hai phương trình tìm m + B4: Đối chiếu m tìm được với điều kiện ở B1, nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại Ví dụ 1: Cho 2 phương trình : x2 + mx + 2 = 0(1) và x2 + 2x + m = 0(2). Tìm m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung Giải Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ' ≥ 0 ⇔ 1 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1 ⇒ Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là m ≤ -2√2 (*) Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: mx0 - 2x0 + 2 - m = 0 ⇔ (m - 2)x0 = m - 2 Do m ≤ -2√2 nên m – 2 ≠ 0, suy ra x0 = 1 Thay x0 = 1 vào phương trình (1): 1 + m + 2 = 0 hay m = -3( thỏa mãn (*)) Vậy với m = -3 thì 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung Ví dụ 2: Cho 2 phương trình : x2 - 2mx + 4m = 0(1) và x2 - mx + 10m = 0(2) . Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1) Giải Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ' ≥ 0 Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ m2 - 40m ≥ 0 ⇔ m(m - 40) ≥ 0 ⇒ Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là m ≥ 40 ∨ m ≤ 0 (*) Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (2) thì 2x0 là nghiệm của phương trình (1). Thay x0 vào (2) và 2x0 vào (1) ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: 9m = 0 ⇔ m = 0 (thỏa mãn (*)) Vậy với m = 0 thì phương trình (2) có một nghiệm gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1) Ví dụ 3: Cho 2 phương trình : x2 + x + a = 0(1) và x2 + ax + 1 = 0(2). a. Tìm a để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung b. Tìm a để 2 phương trình tương đương Giải a. Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ 1 – 4a ≥ 0 ⇔ a ≤ 1/4 Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là: a ≤ -2 (*) Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình (2) ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: x0(1 – a) – (1 – a) = 0 ⇔ x0(1 – a) = (1 – a) (**) Vì a ≤ -2 nên 1 – a luôn khác 0. Chia hai vế của (**) cho 1 – a ta được x0 = 1 Thay x0 = 1 vào (1) ta có: a = -2 ( thỏa mãn (*)) Vậy với a = -2 thì 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung b. Kí hiệu ∆1, S1, P1 lần lượt là biệt thức đen-ta, tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm của phương trình (1) Kí hiệu ∆2, S2, P2 lần lượt là biệt thức đen-ta, tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm l của phương trình (2) Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm . Ta xét các trường hợp sau: + TH1: Hai phương trình cùng có tập nghiệm là rỗng Trường hợp này xảy ra khi: + TH2: Hai phương trình có nghiệm kép giống nhau Trường hợp này xảy ra khi + TH3: Hai phương trình có nghiệm phân biệt giống nhau Trường hợp này xảy ra khi ⇒ vô nghiệm Vậy với Câu 1: Số giá trị của m để hai phương trình x2 – 2mx – 4m + 1 = 0 (1) và x2 + (3m + 1)x + 2m + 1 = 0 (2) có nghiệm chung là A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Giải Phương trình (1) có nghiệm khi Δ' ≥ 0 ⇔ m2 + 4m - 1 ≥ 0 Phương trình (2 ) có nghiệm khi Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 - 4(2m + 1) ≥ 0 ⇔ 9m2 - 2m - 3 ≥ 0 Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -2mx0 - (3m + 1)x0 - 4m + 1 - 2m - 1 = 0 ⇔ -(5m + 1)x0 - 6m = 0 Nếu ⇒ không thỏa mãn (*), nghĩa là với thì hai phương trình đều vô nghiệm. Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì Khi thì Thay vào phương trình (1): Xét –m + 1 = 0 ⇔ m = 1( thỏa mãn (*)) ⇒ nhận Xét 40m2 + 7m + 1 = 0 có ∆ = 72 -4.40.1 = -111 < 0 nên vô nghiệm Vậy với m = 1 thì 2 phương trình có nghiệm chung Đáp án B Câu 2: Số giá trị của m để hai phương trình 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 (1) và 4x2 - (9m - 2)x + 36 = 0 (2) có nghiệm chung là A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Giải Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 2)2 - 4.2.12 ≥ 0 ⇔ 9m2 + 12m - 92 ≥ 0 Phương trình (2) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (9m - 2)2 - 4.4.36 ≥ 0 ⇔ 81m2 - 36m + 4 - 576 ≥ 0 ⇔ 81m2 - 36m - 572 ≥ 0 Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -(6m + 4)x0 + (9m - 2)x0 - 12 = 0 ⇔ (3m - 6)x0 - 12 = 0 Nếu m = 2 thì điều kiện (*) trở thành: ⇒ m = 2 không thỏa mãn (*), nghĩa là với m = 2 thì 2 phương trình cùng vô nghiệm Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì m ≠ 2 Khi m ≠ 2 thì Thay vào phương trình (1): Xét m = 3( thỏa mãn (*)) ⇒ nhận Vậy với m = 3 thì 2 phương trình có nghiệm chung Đáp án B Câu 3: Tổng các giá trị của m để hai phương trình 2x2 + (3m + 1)x - 9 = 0 (1) và 6x2 + (7m - 1)x - 19 = 0 (2) có nghiệm chung là Giải Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 - 4.2.(-9) ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 + 72 ≥ 0,(∀ m ∈ R) Phương trình (2) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (7m - 1)2 - 4.6.(-19) ≥ 0 ⇔ (7m-1)2 + 456 ≥ 0,(∀ m ∈ R) ⇒ Với mọi m hai phương trình luôn có nghiệm Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: (9m + 3)x0-(7m-1)x0-27+19=0 ⇔ (2m + 4)x0-8=0(*) Nếu m = -2 thì phương trình (*) vô nghiệm Nghĩa là với m = -2 thì 2 phương trình cùng không có nghiệm chung Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì m ≠ -2 Khi m ≠ -2 thì Thay vào phương trình (1): Vậy với m = 2, Đáp án D Câu 4: Tích các giá trị của m để hai phương trình 2x2 + mx - 1 = 0 (1) và mx2 - x + 2 = 0 (2) có nghiệm chung là A. -1 B. 5 C. 8 D. -10 Giải +) TH1: m = 0 thì phương trình (1): 2x2 - 1 = 0 Phương trình (2): -x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ với m = 0 thì hai phương trình không có nghiệm chung +) TH2: m ≠ 0 thì hai phương trình đều là phương trình bậc hai. Khi đó Phương trình (1) có nghiệm khi Δ ≥ 0 m2 + 8 ≥ 0,(∀ m ∈ R) Phương trình (2 ) có nghiệm khi Δ ≥ 0 ⇔ 1 - 8m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/8 ⇒ Với Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Vì m ≠ 0 nên ta nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với m, nhân 2 vế của phương trình thứ hai với 2 ta được: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: Thay vào phương trình (1): Xét phương trình m2 – m + 7 = 0 có ∆ = (-1)2 – 4.1.7 = -27 < 0 nên vô nghiệm Vậy với m = -1 thì 2 phương trình có nghiệm chung Đáp án A Câu 5: Cho hai phương trình x2 – (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) và x2 – (m + 2)x + m + 1 = 0 (2), khẳng định nào sau đây là đúng A. Có một giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung B. Tích các giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung bằng 10 C. Giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung là số lớn hơn 3 D. Không có giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung Giải Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (m + 4)2 - 4(m + 5) ≥ 0 ⇔ m2 + 8m + 16 - 4m - 20 ≥ 0 ⇔ m2 + 4m - 4 ≥ 0 Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (m + 2)2 - 4(m + 1) ≥ 0 ⇔ m2 + 4m + 4-4m - 4 ≥ 0 ⇔ m2 ≥ 0,(∀ m ∈ R) ⇒ Điều kiện để hai phương trình luôn có nghiệm là: m2 + 4m – 4 ≥ 0(*) Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -(m + 4)x0 + (m + 2)x0 + 4 = 0 ⇔ -2x0 + 4 = 0 ⇔ x0 = 2 Thay vào phương trình (1): Với m = 1 thì m2 + 4m – 4 = 1 + 4 – 4 = 1 > 0 thỏa mãn điều kiện (*)nên nhận Vậy với m = 1 thì 2 phương trình có nghiệm chung Đáp án A Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9. Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp |