Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình y 2 0
|
14:35:1112/10/2021 Show Sau khi đã học về bất phương trình bậc nhất một ẩn, nội dung bài này sẽ giới thiệu với các em về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? Cách biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ra sao? chúng ta sẽ có câu trả lời trong bài viết này. I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn • Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là: ax + by ≤ c (1) (ax + by > c; ax + by ≥ c; ax + by < c) trong đó a, b, c là các số đã cho với a, b, c không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn số. Cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 ≤ c là một bất đẳng thức đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c. II. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Định nghĩa - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó. 2. Định lý - Đường thẳng ax + by ≤ cchia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng bờ là (d). Một trong hai nửa mặt phẳng đó (kể cả bờ) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c. Nửa mặt phẳng còn lại là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≥ c. 3. Cách biểu diễn tập nghiệm (miền nghiệm) Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của ax + by ≤ c (1) như sau: - Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng Δ: ax + by = c - Bước 2: Lấy một điểm M0(x0;y0) không thuộc Δ (ta thường lấy gốc tọa độ) - Bước 3: Tính ax0 + by0 và so sánh với c. - Bước 4: Kết luận ° Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ Δ chứa M0 là miền nghiệm của ax + by ≤ c. Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ Δ KHÔNG chứa M0 là miền nghiệm của ax + by ≤ c. * Ví dụ (Câu hỏi 1 trang 96 SGK Toán 10 Đại số): Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: -3x + 2y > 0. > Lời giải: - Ta vẽ đường thẳng (d): -3x + 2y = 0. - Lấy điểm A(1; 1), ta thấy A ∉(d) và có: -3.1 + 2.1 < 0 nên nửa mặt phẳng bờ (d) không chưá A là miền nghiệm của bất phương trình (miền không bị gạch chéo).  III. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. - Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
* Ví dụ (Câu hỏi 2 trang 97 SGK Toán 10 Đại số): Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
> Lời giải: - Ta có:
Vẽ các đường thẳng: (d1): 2x – y = 3 hay y = 2x – 3 (d2): -10x + 5y = 8 hay y = 2x + 8/5 Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, cách biểu diễn tập nghiệm (miền nghiệm). Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công.
Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
– Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng: $ax + by + c < 0,ax + by + c > 0,ax + by + c \le 0,ax + by + c \ge 0$ trong đó $a,b,c$ là những số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0;x$ và $y$ là các ẩn số. – Mỗi cặp số $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ sao cho $a{x_0} + b{y_0} < c$ gọi là một nghiệm của bất phương trình $ax + by + c < 0$. – Nghiệm của các bất phương trình dạng $ax + by > c,ax + by \le c,ax + by \ge c$ cũng được định nghĩa tương tự. – Tập hợp diểm biểu diễn các nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình. b) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.Quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau:
Bước 1. Vẽ đường thẳng $\left( d \right):ax + by + c < 0$ Bước 2. Xét một điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ không nằm trên $\left( d \right)$. – Nếu $a{x_0} + b{y_0} + c < 0$ thì nửa mặt phẳng (không kể bờ $\left( d \right)$) chứa điểm $M$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax + by + c < 0$. – Nếu $a{x_0} + b{y_0} + c > 0$ thì nửa mặt phẳng (không kể bờ $\left( d \right)$) không chứa điểm $M$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax + by + c > 0$. 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩnTương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:
– Bước 1: Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ và gạch bỏ miền còn lại. – Bước 2: Tìm miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 3. Ứng dụng vào bài toán tối ưuBài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức \(T\left( {x,y} \right) = ax + by\) với \(\left( {x;y} \right)\) nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.
– Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm \(S\) là đa giác. – Bước 2: Tính giá trị của \(F\) tương ứng với \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ của các đỉnh của đa giác. – Bước 3: Kết luận: \( \bullet \) Giá trị lớn nhất của \(F\) là số lớn nhất trong các giá trị tìm được. \( \bullet \) Giá trị nhỏ nhất của \(F\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10. Nội dung bài viết Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax + by ≤ c như sau: Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax + by = c. Bước 2. Lấy một điểm M0(x0; y0) không thuộc ∆ (lấy tọa độ có nhiều số 0 nhất có thể) Bước 3. Tính ax0 + by0 và so sánh với c. Bước 4. Kết luận. Nếu ax0 + by0 c thì nửa mặt phẳng kể cả bờ ∆ không chứa M0 là miền nghiệm của ax + by ≤ c. Miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là miền nghiệm của phương trình ax + by 0. b) Cho hai điểm A(2; 1) và B(3; 3), hỏi hai điểm này cùng phía hay khác phía đối với bờ (d). Lời giải. a) Vẽ đường thẳng d : −2x + 3y = 0. Thay tọa độ điểm M(1; 0) vào vế trái phương trình đường thẳng (d), ta được: −2 < 0. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm M. (Trên hình là nửa mặt phẳng không bị gạch bỏ). b) Thế tọa độ điểm A vào vế trái của phương trình đường thẳng (d) ta được −2.2 + 3.1 = −1 0. (2). Từ (1) và (2) suy ra hai điểm nằm ở hai phía đối với bởi (d). BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho mỗi dạng). Bài 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 3 y ≥ 1 − x + 1 ⇔ 2x + y ≥ 1. Vẽ đường thẳng d : 2x + y = 1. Thay tọa độ điểm O(0; 0) vào vế trái phương trình đường thẳng (d), ta được: 0 < 1. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O, kể cả bờ (d). (Trên hình là nửa mặt phẳng không bị gạch bỏ). Bài 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn −2017x − 2018y ≤ 2016y. −2017x − 2018y ≤ 2016y ⇔ −x − 2y ≤ 0 Vẽ đường thẳng d: −x − 2y = 0. Thay tọa độ điểm M(1; 0) vào vế trái phương trình đường thẳng (d), ta được: −1 < 0. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm M, kể cả bờ (d). (Trên hình là nửa mặt phẳng không bị gạch bỏ). Bài 3. a) Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn x3 + y6 < 1. b) Tìm điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình trên. Biết rằng điểm A là giao điểm của parabol (P) có dạng y = x2 − 5x + 4 và trục hoành. Vẽ đường thẳng d : 2x + y = 6. Thay tọa độ điểm O(0; 0) vào vế trái phương trình đường thẳng (d), ta được: 0 < 6. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O. (Trên hình là nửa mặt phẳng không bị gạch bỏ). b) Điểm A nằm trên parabol (P) có dạng y = x2 − 5x + 4 và trục hoành nên hoành độ của A là nghiệm của phương trình x2 − 5x + 4 = 0 ⇔ x = 1, x = 4. Suy ra ta được hai điểm (1; 0) và (4; 0). Lần lượt thế tọa độ từng điểm vào vế trái của phương trình đường thẳng (d), do A thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho nên ta được A có tọa độ là (1; 0). |
