Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các đỉnh là $A\left( {1,1,1} \right),{\rm{ }}B\left( {1,2,1} \right),{\rm{ }}C\left( {1,1,2} \right)$ và $D\left( {2,2,1} \right)$. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có phương trình là
Mặt cầu ngoài tiếp tứ diện ABCD là mặt cầu đi qua 4 điểm hay 4 đỉnh A, B, C và D. Do đó để tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu...
Bạn đang xem: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm Bài 8. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4).a) Chứng tỏ rằng tư điểm A, B, C, D ko đồng phẳng.b) Viết phương thơm trình phương diện cầu (S) trải qua tư điểm A, B, C, D . Xem thêm: Cách Chọn Gà Chọi Đá Hay - Cách Chọn Gà Chọi Hay Qua 7 Bước Xem Tướng Xác định vai trung phong với nửa đường kính của khía cạnh cầu kia.c) Viết phương thơm trình mặt phẳng đi qua A, B, C cùng kiếm tìm khoảng cách từu điểm D cho tới phương diện phẳng kia.d) Viết phương trình phương diện phẳng vuông góc với CD cùng tiếp xúc cùng với khía cạnh cầu (S).e) Tìm bán kính các đường tròn giao đường của phương diện cầu (S) và những phương diện phẳng tọa độ.a) Ta có: (eqalign & overrightarrow AB = left( 3, – 3, – 8 ight),overrightarrow AC = left( 4,0, – 4 ight). cr & overrightarrow AD = left( 0, – 3,1 ight) cr và Rightarrow left< overrightarrow AB ,overrightarrow AC ight> = left( 12, – trăng tròn,12 ight),left< overrightarrow AB ,overrightarrow AC ight>.overrightarrow AD = 72 e 0. cr ) Vậy tứ điểm A, B, C, D không đồng phẳng.b) Giả sử phương diện cầu (S) bao gồm pmùi hương trình: (x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz = 0).Vì (A,B,C,D in left( S ight)) đề nghị ta tất cả hệ pmùi hương trình: (left{ matrix 1 + 25 + 9 – 2a – 10b – 6c + d = 0 hfill cr 16 + 4 + 25 – 8a – 4b + 10c + d = 0 hfill cr 1 + 4 + 16 – 2a – 4b – 8c + d = 0 hfill cr ight. Rightarrow left{ matrix 3a – 3b – 8c = 5 hfill cr a – c = 2 hfill cr – 3b + c = – 7 hfill cr ight. Rightarrow left{ matrix a = 1 hfill cr b = 2 hfill cr c = – 1 hfill cr d = – 19 hfill cr ight.)Quảng cáo Vậy (left( S ight):x^2 + y^2 + z^2 – 2x – 4y + 2z – 19 = 0.)Mặt cầu (S) gồm trung ương (Ileft( 1,2, – 1 ight)) cùng bán kính (R = sqrt 1 + 4 + 1 + 19 = 5.)c) Mp(ABC) tất cả vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left< overrightarrow AB ,overrightarrow AC ight> = left( 12, – đôi mươi,12 ight) = 4left( 3, – 5,3 ight).)Mp(ABC) đi qua (Aleft( 1,5,3 ight)) đề nghị gồm phương thơm trình: (3left( x – 1 ight) – 5left( y – 5 ight) + 3left( z – 3 ight)0 Leftrightarrow 3x – 5y + 3z + 13 = 0.) Khoảng phương pháp từ D cho mp(ABC) là: (h = over sqrt 3^2 + 5^2 + 3^2 = 18 over sqrt 43 ).d) Mặt phẳng (left( alpha ight)) vuông góc với CD tất cả vectơ pháp con đường là (overrightarrow CD = left( – 4, – 3,5 ight)) cần tất cả pmùi hương trình:( – 4x – 3y + 5z + d = 0.)Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) lúc còn chỉ khi khoảng cách từ chổ chính giữa (Ileft( 1,2, – 1 ight)) của khía cạnh cầu(S) tới phương diện phẳng (left( alpha ight)) bằng 5, tức là: (left over sqrt 16 + 9 + 25 = 5 Leftrightarrow – 15 + d ight over sqrt 50 = 5 Leftrightarrow d = 15 pm 25sqrt 2 .) Vậy (left( altrộn ight): – 4x – 2y + 5z + 15 pm 25sqrt 2 = 0.) e) Mặt cầu (S) bao gồm chổ chính giữa (Ileft( 1,2, – 1 ight)), mp(Oxy) bao gồm pmùi hương trình là z = 0. Khoảng bí quyết trường đoản cú điểm I cho mp(Oxy) là (d_1 = left| – 1 ight| = 1
Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4). a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó. d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S). e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳ. Bài 8 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao – I. Bài tập tự luận Bài 8. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4).a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó.d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S). e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng tọa độ. a) Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = \left( {3, – 3, – 8} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4,0, – 4} \right). \cr & \overrightarrow {AD} = \left( {0, – 3,1} \right) \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12, – 20,12} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 72 \ne 0. \cr} \) Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.b) Giả sử mặt cầu (S) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz = 0\). Vì \(A,B,C,D \in \left( S \right)\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ 1 + 25 + 9 – 2a – 10b – 6c + d = 0 \hfill \cr 16 + 4 + 25 – 8a – 4b + 10c + d = 0 \hfill \cr 1 + 4 + 16 – 2a – 4b – 8c + d = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ 3a – 3b – 8c = 5 \hfill \cr a – c = 2 \hfill \cr – 3b + c = – 7 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr b = 2 \hfill \cr c = – 1 \hfill \cr d = – 19 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y + 2z – 19 = 0.\)Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1,2, – 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + 1 + 19} = 5.\)c) Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12, – 20,12} \right) = 4\left( {3, – 5,3} \right).\) Mp(ABC) đi qua \(A\left( {1,5,3} \right)\) nên có phương trình: \(3\left( {x – 1} \right) – 5\left( {y – 5} \right) + 3\left( {z – 3} \right)0 \Leftrightarrow 3x – 5y + 3z + 13 = 0.\) Quảng cáoKhoảng cách từ D đến mp(ABC) là: \(h = {{\left| {3.1 – 5.2 + 3.4 + 13} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {5^2} + {3^2}} }} = {{18} \over {\sqrt {43} }}\).d) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {CD} = \left( { – 4, – 3,5} \right)\) nên có phương trình:\( – 4x – 3y + 5z + d = 0.\) Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \(I\left( {1,2, – 1} \right)\) của mặt cầu(S) tới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng 5, tức là: \({{\left| { – 4.1 – 3.2 – 5.1 + d} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 25} }} = 5 \Leftrightarrow {{\left| { – 15 + d} \right|} \over {\sqrt {50} }} = 5 \Leftrightarrow d = 15 \pm 25\sqrt 2 .\) Vậy \(\left( \alpha \right): – 4x – 2y + 5z + 15 \pm 25\sqrt 2 = 0.\) e) Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1,2, – 1} \right)\), mp(Oxy) có phương trình là z = 0. Khoảng cách từ điểm I đến mp(Oxy) là \({d_1} = \left| { – 1} \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính là \({r_1} = \sqrt {{R^2} – d_1^2} = \sqrt {25 – 1} = 2\sqrt 6 .\) Tương tự mp(Oyz) có phương trình là x = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oyz) là \({d_2} = \left| 1 \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_2} = \sqrt {{R^2} – d_2^2} = \sqrt {25 – 1} = 2\sqrt 6 .\) Tương tự mp(Oxz) có phương trình là y = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oxz) là \({d_3} = \left| 2 \right| = 2 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_3} = \sqrt {{R^2} – d_3^2} = \sqrt {25 – 4} = \sqrt {21} .\) |