Xét các số thực dương xy thỏa mãn log31−yx+3xy=3xy+x+3y−4 tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P = x y

- Hướng dẫn giải

ĐK:

Ta có

log31-yx+3xy=3xy+x+3y-4

Xét hàm số f(x)=log3t+3tt>0

có f'(t)=1tln3+3>0;∀t>0 nên hàm số đồng biến trên 0;+∞

Kết hợp (*) suy ra

Xét P=x+y⇒x=P-y thay vào (**) ta được

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của g(y)=3y2-2y+33y+1 trên (0;1)

Ta có

Giải phương trình

Lại có g'(y)<0∀y∈0;-1+233

và g'(y)>0∀y∈-1+233;1

Hay g'(y) đổi dấu từ âm sang dương tại y=-1+233 nên

⇒Pmin=43-43

Chọn đáp án A.

Thi đại học Toán học Thi đại học - Toán học

ĐK:

Ta có

log31-yx+3xy=3xy+x+3y-4

Xét hàm số f(x)=log3t+3tt>0

có f'(t)=1tln3+3>0;∀t>0 nên hàm số đồng biến trên 0;+∞

Kết hợp (*) suy ra

Xét P=x+y⇒x=P-y thay vào (**) ta được

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của g(y)=3y2-2y+33y+1 trên (0;1)

Ta có

Giải phương trình

Lại có g'(y)<0∀y∈0;-1+233

và g'(y)>0∀y∈-1+233;1

Hay g'(y) đổi dấu từ âm sang dương tại y=-1+233 nên

⇒Pmin=43-43

Chọn đáp án A.

Trang chủ

Sách ID

Khóa học miễn phí

Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \matrix{  {{1 - xy} \over {x + 2y}} > 0 \hfill \cr   x + 2y \ne 0 \hfill \cr   x,y > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow 1 - xy > 0 \Rightarrow xy < 1 \Rightarrow x < {1 \over y}\)

\(\eqalign{  & {\log _3}{{1 - xy} \over {x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) - {\log _3}\left( {x + 2y} \right) = 3xy + x + 2y - 4  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) - 3xy + 4 = {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + x + 2y  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_3}\left( {1 - xy} \right) + 1} \right] + \left( {3 - 3xy} \right) = {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + x + 2y  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3 - 3xy} \right) + \left( {3 - 3xy} \right) = {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + x + 2y\,\,\left( * \right) \cr} \).

Xét hàm số đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = {1 \over {t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) hàm số y = f(t) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà từ (*) ta có: \(f\left( {3 - 3xy} \right) = f\left( {x + 2y} \right),\) do đó \(3 - 3xy = x + 2y \Leftrightarrow x\left( {1 + 3y} \right) = 3 - 2y \Leftrightarrow x = {{3 - 2y} \over {1 + 3y}}\) (vì y > 0).

Ta có: \(x < {1 \over y} \Rightarrow {{3 - 2y} \over {1 + 3y}} < {1 \over y} \Rightarrow {{3y - 2{y^2} - 1 - 3y} \over {\left( {1 + 3y} \right)y}} < 0 \Leftrightarrow  - 2{y^2} - 1 < 0\) (luôn đúng).

Khi đó \(P = x + y = {{3 - 2y} \over {1 + 3y}} + y = {{3 - 2y + y + 3{y^2}} \over {1 + 3y}} = {{3{y^2} - y + 3} \over {1 + 3y}} = f\left( y \right)\).

Ta có: \(f'\left( y \right) = {{\left( {6y - 1} \right)\left( {1 + 3y} \right) - 3\left( {3{y^2} - y + 3} \right)} \over {{{\left( {1 + 3y} \right)}^2}}} = {{9{y^2} + 6y - 10} \over {{{\left( {1 + 3y} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {y_1} = {{ - 1 + \sqrt {11} } \over 3} \hfill \cr   {y_2} = {{ - 1 - \sqrt {11} } \over 3} \hfill \cr}  \right.\)

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN tại \(y = {y_1}\), khi đó \({P_{\min }} = f\left( {{y_1}} \right) = {{2\sqrt {11}  - 3} \over 3}.\)

Chọn D.

Giải chi tiết:

ĐK: \(\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} > 0 \Rightarrow y < 1\)\(\left( {x;y > 0} \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _3}\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) - {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) = x + 3xy + 3\left( {y - 1} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) + 3\left( {1 - y} \right) = {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) + \left( {x + 3xy} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) + 3\left( {1 - y} \right) = {\log _3}\dfrac{{\left( {x + 3xy} \right)}}{3} + \left( {x + 3xy} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + 3t\,\,\left( {t > 0} \right)\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 3 > 0;\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Kết hợp  (*) suy ra \(f\left( {1 - y} \right) = f\left( {\dfrac{{x + 3xy}}{3}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3xy}}{3} = 1 - y\)

\( \Leftrightarrow x + 3xy = 3 - 3y \Leftrightarrow x + 3xy + 3y - 3 = 0\,\,\,\left( {**} \right)\)

Xét \(P = x + y \Rightarrow x = P - y\) thay vào (**) ta được

\(P - y + 3\left( {P - y} \right)y + 3y - 3 = 0 \Leftrightarrow P\left( {3y + 1} \right) = 3{y^2} - 2y + 3\)

\( \Leftrightarrow P = \dfrac{{3{y^2} - 2y + 3}}{{3y + 1}}\) (vì \(0 < y < 1 \Rightarrow 3y + 1 > 0\))

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của \(g\left( y \right) = \dfrac{{3{y^2} - 2y + 3}}{{3y + 1}}\) trên \(\left( {0;1} \right)\)

Ta có \(g'\left( y \right) = \dfrac{{\left( {6y - 2} \right)\left( {3y + 1} \right) - 3\left( {3{y^2} - 2y + 3} \right)}}{{{{\left( {3y + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{9{y^2} + 6y - 11}}{{{{\left( {3y + 1} \right)}^2}}}\)

Giải phương trình \(g'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3} \in \left( {0;1} \right)\\y = \dfrac{{ - 1 - 2\sqrt 3 }}{3} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)

Lại có \(g'\left( y \right) < 0\,\,\,\,\forall y \in \left( {0;\dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(g'\left( y \right) > 0\,\,\,\,\forall y \in \left( {\dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3};1} \right)\)

Hay \(g'\left( y \right)\) đổi dấu từ âm sang dương tại \(y = \dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}\) nên

\(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} g\left( y \right) = g\left( {\dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right) = \dfrac{{4\sqrt 3  - 4}}{3} \Rightarrow {P_{\min }} = \dfrac{{4\sqrt 3  - 4}}{3}\)

Chọn A.