Bài 23 trang 58 sbt hình học 12 nâng cao

LG 1

Tính thể tích của hình tròn xoay tạo nên khi quay hình chữ nhật ABCD quanh \(\Delta \).

Lời giải chi tiết:

Kí hiệuO, Olần lượt là giao điểm của các đường thẳngAB, CDvới \(\Delta \).

GọiVlà thể tích cần tìm,V2là thể tích hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhậtOBCOquanh \(\Delta \) ( vớiOA < OB) hoặc hình tạo nên khi quay hình chữ nhậtOADOquanh \(\Delta \) (vớiOA > OB);

V1là thể tích hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhậtOADOquanh \(\Delta \) ( vớiOA < OB) hoặc hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhậtOBCOquanh \(\Delta \) ( vớiOA > OB). Khi đóV = V2- V1.

Từ đó, với OA < OB thì

\(V = \pi O{B^2}.BC - \pi O{A^2}.AD\)

\(= 2a\pi \left[ {{{(x + a)}^2} - {x^2}} \right] \)

\(= 2{a^2}\pi (2x + a)\)

và vớiOA > OBthì

\(V = \pi O{A^2}.AD - \pi O{B^2}.BC \)

\(= 2a\pi \left[ {{x^2}-{{(x - a)}^2} } \right] \)

\(= 2{a^2}\pi (2x - a)\)

LG 2

Xác định x để thể tích nói trên gấp ba lần thể tích hình cầu có bán kính bằng cạnh AB.

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối cầu bán kính bằngABlà \({4 \over 3}\pi {a^3}\).

Theo giả thiết ta có

\(4\pi {a^3} = 2\pi {a^2}(2x + a)\) (với OA < OB)

Hoặc \(4\pi {a^3} = 2\pi {a^2}(2x - a)\) ( với OA > OB).

Từ đó \(x = {a \over 2}\) ( với OA < OB) hoặc \(x = {{3a} \over 2}\) ( với OA > OB).