Bài 55 trang 50 sgk giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x - {2 \over {x - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y' = 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;1)\) và \((1; + \infty )\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \cr} \)

Do đó \(x=1\) là tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - {2 \over {x - 1}}} \right) = 0\)

Vậy \(y=x\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao \(Ox\) tại \((-1;0),(2;0)\)

Đồ thị giao \(Oy\) tại \((0;2)\)

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm \((3;3)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm \(M\left( {{x_o};{{x_o} - {2 \over {{x_o} - 1}}}} \right) \in \left( C \right)\) là:

\(\left( d \right):\,y - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} \) \(= \left[ {1 + {2 \over {{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {x - {x_o}} \right)\,\left( {x_o \ne 1} \right)\)

Vì \(\left( {3;3} \right) \in d\) nên \(3 - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} = {{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}\left( {3 - {x_o}} \right)\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left( {3 - {x_o}} \right){\left( {{x_o} - 1} \right)^2} + 2\left( {{x_o} - 1} \right) \cr&= \left( {{x_o^2} - 2{x_o} + 3} \right)\left( {3 - {x_o}} \right) \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {3 - {x_o}} \right)\left( {x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right) + 2{x_o} - 2\\
= 3x_o^2 - 6{x_o} + 9 - x_o^3 + 2x_o^2 - 3{x_o}\\
\Leftrightarrow 3x_o^2 - x_o^3 - 6{x_o} + 2x_o^2 + 3 - {x_o} + 2{x_o} - 2\\
= 3x_o^2 - 6{x_o} + 9 - x_o^3 + 2x_o^2 - 3{x_o}\\
\Leftrightarrow 4{x_o} - 8 = 0\\
\Leftrightarrow {x_o} = 2\\
\Rightarrow {y_o} = 2 - \frac{2}{{2 - 1}} = 0
\end{array}\)

\( \Rightarrow M\left( {2;0} \right)\)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = 3\left( {x - 2} \right)\)hay \(y = 3x - 6.\)

Cách khác:

Gọi phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua A(3; 3) có dạng

y-3=k(x-3) <=> y=k(x-3)+3

(d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

Thế (2) vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \left( {1 + \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right)\left( {x - 3} \right) + 3\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\left( {x - 3} \right) + 3\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + 3\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{3{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\\
= \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) + 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\\
\Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 2x - {x^2} + x + 2\\
= {x^3} - 2{x^2} + 3x - 3{x^2} + 6x - 9 + 3{x^2} - 6x + 3\\
\Leftrightarrow - 4x + 8 = 0\\
\Leftrightarrow x = 2
\end{array}\)

* Với x = 2 thay vào (2) ta được k = 3.

Vậy phương trình tiếp tuyến là

y = 3(x- 3) + 3 hay y = 3x 6