- Bài 8.4
- Bài 8.5
- Bài 8.6
Bài 8.4
Cho \[\displaystyle {a \over b} = {c \over d}\]. Chứng minh:
a] \[\displaystyle {{{a^2} - {b^2}} \over {{c^2} - {d^2}}} = {{ab} \over {cd}};\]
b] \[\displaystyle {{{{\left[ {a - b} \right]}^2}} \over {{{\left[ {c - d} \right]}^2}}} = {{ab} \over {cd}}.\]
Phương pháp giải:
Áp dụng:
\[\displaystyle {a \over b} = {c \over d} \Rightarrow {a \over c} = {b \over d}\]
\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}}\,\left[ {b,d,b - d \ne 0} \right]\]
Lời giải chi tiết:
a] \[\displaystyle {a \over b} = {c \over d} \Rightarrow {a \over c} = {b \over d}\]
\[\displaystyle \Rightarrow {{ab} \over {cd}}={a \over c}.{b \over d} = {a \over c}.{a \over c} = {b \over d}.{b \over d} \]
\[\Rightarrow \dfrac{{ab}}{{cd}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \dfrac{{{b^2}}}{{{d^2}}} \]\[= \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{c^2} - {d^2}}}\]
Vậy \[\,\displaystyle {{ab} \over {cd}} = {{{a^2} - {b^2}} \over {{c^2} - {d^2}}}\]
b] \[\displaystyle {a \over b} = {c \over d} \Rightarrow {a \over c} = {b \over d} = {{a - b} \over {c - d}} \]
\[\displaystyle \Rightarrow {{ab} \over {cd}} = {a \over c}.{b \over d} = {{a - b} \over {c - d}}.{{a - b} \over {c - d}} \]\[\,\displaystyle = {{{{\left[ {a - b} \right]}^2}} \over {{{\left[ {c - d} \right]}^2}}}\]
Vậy\[\displaystyle {{{{\left[ {a - b} \right]}^2}} \over {{{\left[ {c - d} \right]}^2}}} = {{ab} \over {cd}}.\]
Bài 8.5
Tìm \[x, y\] biết: \[\displaystyle {2 \over x} = {3 \over y}\]và \[xy = 96\].
Phương pháp giải:
Áp dụng: \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\]\[\, \Rightarrow {\left[ {\dfrac{a}{b}} \right]^2} = \dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d}\,\left[ {b,d \ne 0} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Từ \[\displaystyle {2 \over x} = {3 \over y}\]ta có \[\displaystyle \frac{2}{x}.\frac{2}{x}= {2 \over x}.{3 \over y} = {6 \over {xy}} = {6 \over {96}} = {1 \over {16}} \]
\[ \Rightarrow \dfrac{4}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{16}} \Rightarrow {x^2} = 4.16 = 64\]
\[\Rightarrow x = \pm 8\]
- Nếu \[x = 8\] thì \[y = 96 : 8 = 12\].
- Nếu \[x = -8\] thì \[y = 96 : [-8] = -12\].
Bài 8.6
Biết rằng \[\displaystyle {{bz - cy} \over a} = {{cx - az} \over b} = {{ay - bx} \over c}.\]
Hãy chứng minh \[x : y : z = a : b : c\].
Phương pháp giải:
\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\]\[\,\,\left[ {b,d,f,b + d + f \ne 0} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\displaystyle {{bz - cy} \over a} = {{cx - az} \over b} = {{ay - bx} \over c} \]
\[\displaystyle= {{bxz - cxy} \over {ax}} = {{cxy - ayz} \over {by}} = {{ayz - bxz} \over {cz}}\]
\[=\dfrac{{bxz - cxy + cxy - ayz + ayz - bxz}}{{ax + by + cz}}\]
\[\displaystyle= {0 \over {ax + by + cz}} = 0\]
Suy ra:
\[+]\,\dfrac{{bz - cy}}{a} = 0 \Rightarrow bz - cy = 0\]\[\displaystyle \Rightarrowbz = cy \Rightarrow {z \over c} = {y \over b}\] [1]
\[+]\,\dfrac{{cx - az}}{b} = 0 \Rightarrow cx - az = 0\]\[\displaystyle \Rightarrow cx = az \Rightarrow {x \over a} = {z \over c}\] [2]
\[+]\,\dfrac{{ay - bx}}{c} = 0 \Rightarrow ay - bx = 0\]\[\displaystyle \Rightarrow ay = bx \Rightarrow {y \over b} = {x \over a}\] [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra \[\displaystyle {x \over a} = {y \over b} = {z \over c}\]hay \[x : y : z = a : b : c.\]