Đề bài
Cho tam giác \[ABC,\] các đường trung tuyến \[BD\] và \[CE\] cắt nhau ở \[G.\] Gọi \[I, K\] theo thứ tự là trung điểm của \[GB, GC.\] Chứng minh rằng \[DE // IK,\] \[DE = IK.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác:
+] Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
+] Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
Trong tam giác \[ABC\] ta có:
\[E\] là trung điểm của \[AB \;\;[gt]\]
\[D\] là trung điểm của \[AC\;\; [gt]\]
Nên \[ED\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\]
\[ED // BC\] và \[ED = \displaystyle{{BC} \over 2}\] [tính chất đường trung bình của tam giác] \[[1]\]
Trong tam giác \[GBC\] ta có:
\[I\] là trung điểm của \[BG\;\; [gt]\]
\[K\] là trung điểm của \[CG\;\; [gt]\]
Nên \[IK\] là đường trung bình của \[ GBC\]
\[ IK // BC\] và \[IK =\displaystyle {{BC} \over 2}\] [tính chất đường trung bình của tam giác] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[IK // DE\] và \[IK = DE.\]