Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tự luận

Tài liệu gồm có 23 trang Word đẹp và chuẩn. Kèm file PDF để các em có thể lưu nhanh về điện thoại để làm tư liệu học tập.
 

 

TẢI VỀ FILE PDF

FILE WORD

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn

Đường thẳng  được gọi là vuông góc với mặt phẳng  nếu  vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong .

Vậy .

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí: Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong .

.

3. Tính chất

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

4. Sự liên quan giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song

+                          +  

+                     +  

+                             +  

5. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc

Định nghĩa: Cho đường thẳng . Phép chiếu song song theo phương  lên mặt phẳng được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng .

Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  và  là đường thẳng không thuộc  đồng thời không vuông góc với . Gọi là hình chiếu của  trên . Khi đó .

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng  và mặt phẳng .

+ Nếu  vuông góc với mặt phẳng  thì ta nói góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  bằng .

+ Nếu  không vuông góc với mặt phẳng  thì góc giữa  với hình chiếu  của nó trên  được gọi là góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng .

B. Bài tập

 

Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với đường thẳng

Phương pháp:

Muốn chứng minh đường thẳng  ta có thể dùng một trong hai cách sau:

Cách 1: Chứng minh  vuông góc với hai đường thẳng  cắt nhau trong .

.

Cách 2: Chứng minh  song song với đường thẳng  mà .

.

Để chứng minh , ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

    -  Chứng minh  vuông góc với và chứa a.

    -  Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

    -  Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

Ví dụ 1.1: Cho tứ diện đều . Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Lời giải:

Giả sử cần chứng minh .

Gọi  là trung điểm của cạnh . Ta có: .

Do đó  vì  nằm trong mặt phẳng .

Bằng lập luận tương tự ta chứng minh được  và .

Ví dụ 1.2: Hình chóp  có đáy là hình vuông  tâm  và có cạnh  vuông góc với mặt phẳng . Gọi  lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh  và .

    a) Chứng minh .

    b) Chứng minh  và điểm  thuộc .

    c) Chứng minh , từ đó suy ra .

Lời giải:

    a)  vì đáy là hình vuông .

    Lại có .

    Do đó  vì  vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong .

    Tương tự, .

    .

    b) Theo câu a, có , mà  nên .

    Theo giả thiết . Do đó .

    Vì  nên .

    Hoàn toàn tương tự, ta cũng có .

    Hai đường thẳng  cắt nhau và cùng vuông góc với  nên chúng nằm trong mặt phẳng đi qua điểm  và vuông góc với . Vậy . Ta có  vì nó đi qua điểm  và cùng vuông góc với .

    c) Ta có .

    Hai tam giác vuông  và  bằng nhau vì chúng có cạnh  chung và  (c.g.c). Do đó .

    Vì  nên  và do  nên .

Ví dụ 1.3: Cho tứ diện  có ba cạnh  đôi một vuông góc với nhau. Kẻ  vuông góc với mặt phẳng  tại . Chứng minh:

    a)  và .

    b)  là trực tâm của tam giác .

    c) .

Lời giải:

    a) Ta có .

    Tương tự ta chứng minh .

                 .

    b) Vì  nên  và .

                .        (1)

    Chứng minh tương tự ta có .        (2)

    Từ (1) và (2) suy ra  là trực tâm của tam giác .

    c) Gọi  là giao điểm của  và . Trong tam giác  vuông tại , ta có  đường cao.

    Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông của hình học phẳng ta có:

        (1)

    Vì  vuông góc với mặt phẳng  nên . Do đó trong tam giác  vuông tại  với đường cao , ta có:

        (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Ví dụ 1.4: Hình chóp  có đáy là hình thoi  tâm  và có , .

    a) Chứng minh  vuông góc với mặt phẳng .

    b) Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng  và .

Lời giải:

    a)  là tâm hình thoi  nên  là trung điểm của đoạn .

    Tam giác  có  nên .

    Chứng minh tương tự ta có . Từ đó suy ra .

    b) Vì đáy  là hình thoi nên .

    Mặt khác ta có . Do đó .

    Ta có  là đường trung bình của tam giác  nên .

    Mà  nên .

    Ta lại có .

Dạng 2.Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp:

Để xác định góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng ta thực hiện theo các bước sau:

- Tìm giao điểm .

- Dựng hình chiếu  của một điểm  xuống .

- Góc  chính là góc giữa đường thẳng  và .

Lưu ý:

Để dựng hình chiếu  của điểm  trên  ta chọn một đường thẳng  khi đó .

Để tính góc  ta sử dung hệ thức lượng trong tam giác vuông . Ngoài ra nếu không xác định góc  thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  theo công thức  trong đó  là VTCP của  còn  là vec tơ có giá vuông góc với .

Ví dụ 2.1: Cho hình chóp  có đáy là hình vuông cạnh ,  và vuông góc với đáy. Tính góc giữa:

a)  và

b)  và

c)  và

 Lời giải

a)  là hình chiếu của  trên 

Ta có  nên 

b) Có  là hình chiếu của  trên mặt phẳng 

Có 

c)  là hình chiếu của  trên 

.

Ví dụ 2.2: Cho hình lăng trụ xiên  đáy là tam giác đều cạnh , đỉnh  cách đều , góc giữa  và  là .

Xác định và tính đường cao của lăng trụ trên.

Lời giải:

Gọi  là trọng tâm tam giác . Gọi  lần lượt là trung điểm của .

Vì  đều và  cách đều  nên .

 là hình chiếu của  trên .

Chiều cao của hình lăng trụ là 

Có .

Ví dụ 2.3: Cho hình chóp tứ giác đều  có cạnh đáy bằng , tâm . Gọi ,  lần lượt là trung điểm  và . Biết góc giữa  và mặt phẳng  là .

    a) Tính độ dài .

    b) Tính cosin của góc giữa  và .

Lời giải:

a) Vì  là hình chóp đều nên .

Gọi  là hình chiếu của  trên  là trung điểm của .

Áp dụng định lí cosin vào tam giác , ta có

Có  là hình chiếu của  trên 

.

Vậy .

b) Gọi  là trung điểm của , ta có 

Có  là hình chiếu của  trên 

Trong tam giác vuông  có .

Xét tam giác vuông  có 

.

Xét tam giác vuông  vuông tại  có 

Do đó .

Dạng 3. Thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

Phương pháp:

Để xác định thiết diện của mặt phẳng  đi qua điểm  và vuông góc với đường thẳng  với một hình chóp ta thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1. Tìm tất cả các đường thẳng vuông góc với , khi đó  sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này và ta chuyển về dạng thiết diện song song như đã biết ở chương II.

Cách 2. Ta dựng mặt phẳng  như sau:

Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với  trong đó có một đường thẳng đi qua , khi đó  chính là mặt phẳng .

Ví dụ 3.1: Cho hình chóp  có đáy  là hình thang vuông tại  với  và .Gọi  là một điểm trên cạnh  là mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Đặt .

    a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi .

    b) Tính diện tích thiết diện theo  và .

Lời giải:

    a) Ta có .

    Tương tự .

    Do  .

    Tương tự  .

     .

    Thiết diện là tứ giác .

    b) Ta có  nên tứ giác  là hình thang.

    Mặt khác  suy ra thiết diện là một hình thang vuông tại  và .

    .

    Gọi  là trung điểm của  và .

    Do  nên .

    .

    Xét trong hình thang  ta có:

    .

    .

    .

    Ví dụ 3.2: Cho hình chóp  có đáy  là tam giác đều cạnh bằng ,  và . Gọi  là mặt phẳng đi qua  và vuông góc với .

    a) Xác định thiết diện của hình chóp  khi cắt bởi .

    b) Tính diện tích của thiết diện này.

Lời giải:

    a) Gọi  là trung điểm của , dựng .

    Ta có . Mặt khác  nên .

    Vậy  chính là mặt phẳng  đi qua  và vuông góc với .

    Thiết diện là tam giác .

    b) Do  nên  vuông tại .

     (đường cao của tam giác đều cạnh ).

    Hai tam giác  và  có chung góc  nên chúng đồng dạng. Từ đó suy ra

    .

    Vậy .