- Điểm là một
khái niệm cơ bản của hình học, ta không định nghĩa điểm mà chỉ hình dung nó, chẳng
hạn bằng một hạt bụi rất nhỏ, một chấm mực trên mặt giấy,...
- Hai điểm không
trùng nhau là hai điểm phân biệt.
- Bất cứ một
hình hình học nào cũng đều là một tập hợp các điểm. Người ta gọi tên điểm bằng
các chữ cái in hoa.
b, Đường thẳng:
- Đường thẳng là
một khái niệm cơ bản, ta không định nghĩa mà chỉ hình dung đường thẳng qua hình
ảnh thực tế như một sợi chỉ căng thẳng, vết bút chì vạch theo cạnh thước,...
- Đường thẳng
cũng là tập hợp các điểm.
- Đường thẳng
không bị giới hạn về cả hai phía. Người ta đặt tên đường thẳng bằng một chữ thường,
hoặc hai chữ thường, hoặc hai điểm bất kì thuộc đường thẳng.
c, Quan hệ giữa điểm và đường thẳng: (được
diễn tả bằng một trong các cách sau)
+ Điểm A thuộc
đường thẳng a, kí hiệu AÎ a
+ Điểm A nằm
trên đường thẳng a.
+ Đường thẳng
a chứa điểm A.
+ Đường thẳng
a đi qua điểm A.
+ Điểm B không
thuộc đường thẳng a, kí hiệu BÏ a
+ Điểm B không
nằm trên đường thẳng a.
+ Đường thẳng
a không chứa điểm B.
+ Đường thẳng
a không đi qua điểm B.
- Khi ba điểm
cùng thuộc một đường thẳng, ta nói là ba điểm thẳng hàng. Khi ba điểm không
cùng thuộc bất kì đường thẳng nào, ta nói chúng không thẳng hàng.
- Trong 3 điểm
thẳng hàng, có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.
Với 3 điểm thẳng
hàng A, B, C ta có thể nói:
+ Điểm B nằm giữa hai điểm A và C.
+ Hai điểm A và B nằm cùng phía đối
với điểm C, Hai điểm B và C nằm cùng phía đối với điểm A.
+ Hai điểm A và C nằm khác phía đối
với điểm B.
- Nhận xét: Có một
đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
d, Đường thẳng trùng nhau, cắt nhau, song
song:
Hai đường thẳng
a, b bất kì có thể:
+ Trùng nhau: có vô số điểm chung.
+ Cắt nhau: chỉ có 1 điểm chung - điểm
chung đó gọi là giao điểm.
+ Song song: không có điểm chung
nào.
- Chú ý:
+ Hai đường thẳng
không trùng nhau còn được gọi là hai đường thẳng phân biệt.
+ Khi có nhiều
đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm ta nói chúng đồng quy tại điểm đó.
+ Khi có nhiều đường thẳng nhưng trong đó
không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy,
ta nói các đường thẳng này đôi một cắt
nhau hoặc cắt nhau từng đôi một.
2. Tia:
- Hình gồm điểm
O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi là một tia gốc O, còn
gọi là một nửa đường thẳng gốc O.
- Khi đọc (hay
viết) tên một tia, phải đọc (hay viết) tên gốc trước.
- Hai tia chung
gốc và tạo thành một đường thẳng gọi là hai tia đối nhau.
- Chú ý:
+ Mỗi điểm trên
đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau.
+ Hai tia Ox, Oy
đối nhau. Nếu điểm A thuộc tia Ox và điểm B thuộc tia Oy thì điểm O nằm giữa
hai điểm A và B.
- Hai tia trùng
nhau có cùng gốc và có một điểm chung khác gốc.
- Hai tia không
trùng nhau còn được gọi là hai tia phân biệt.
3. Đoạn thẳng:
- Đoạn thẳng AB
là hình gồm điểm A, điểm B và tất cả các điểm nằm giữa A và B. Các điểm A, B gọi
là hai mút (hoặc hai đầu) đoạn thẳng AB.
CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG : 1 Tìm số đường thẳng đi qua n điểm cho trước mà không có 3 điểm
nào thẳng hàng:
-Qua 1 điểm kẻ đến n-1 điểm còn lại ta có n-1 đường
thẳng, làm như vậy với n điểm ta có n.(n-1) đường thẳng. Vì các đường thẳng xuất
hiện 2 lần nên số đường thẳng tạo ra là n.(n-1):2
Dạng 2: Qua n điểm trong đó có m điểm thẳng hàng có bao nhiêu đường thẳng?
-Qua n điểm có n.(n-1):2 đường thẳng. Qua m điểm
không thẳng hàng có m.(m-1):2 đường thẳng, Vì qua m điểm thẳng hàng chỉ có 1 đường
thẳng nên số đường thẳng giảm đi là: m.(m-1):2-1 đường thẳng
-Vậy số đường thẳng cần tìm là:
n.(n-1):2-[m.(m-1):2-1]
Dạng 3: Tìm số điểm tạo bởi n đường thẳng cắt nhau mà không có 3 đường
thẳng đồng quy.
Qua
n đường thẳng cắt nhau có n.(n-1):2 giao điểm
Dạng 4: Cho n điểm tìm số đoạn thẳng tạo thành từ n điểm trên( không
phân biệt thẳng hàng).
Số
đoạn thẳng tạo ra là : n.(n-1):2
Chú ý bài toán ngược: VD cho số đoạn thẳng
tạo ra là 21 đoạn thẳng, tìm số điểm.
Dạng 5: Tính số đường chéo, số tam giác tạo ra từ n điểm không có 3 điểm
thẳng hàng.
Số tam giác là:
n(n-1)(n-2):6 và số đường chéo là n(n-1):2-n
Dạng 6: Chứng minh một điểm nằm giữa 2 điểm
-Nếu OA và OB là hai tia đối nhau thì O nằm giữa
A và B.
-Nếu OA và OB là hai tia trung nhau và OA
-Nếu MA+MB=AB thì M nằm giữa.
-Nếu M thuộc đoạn thẳng AB thì M nằm giữa
Dạng 7: Tính độ dài 1 đoạn thẳng
-Chỉ ra điểm nào nằm giữa.
-Viết biểu thức MA+MB=AB rồi thay số.
Dạng 8:Chứng minh một điểm là
trung điểm của một đoạn thẳng.
-Chỉ ra điểm nằm giữa.
-Chỉ ra 2 độ dài bằng nhau.
Dạng 9: Cho độ dài AB. Gọi M là điểm nằm trong AB, P và Q lần lượt là
trung điểm AM và MB, Tính PQ?
-Chỉ ra mối quan hệ các điểm nằm giữa.
-AM+MB=AB, suy ra AP+PM+MQ+QB=AB, hay
2(QM+MP)=AB, suy ra QP=AB:2
BÀI TẬP:
Bài 1. a) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau: Các điểm A, M, N
nằm trên đường thẳng d. Các điểm B, C không nằm trên đường thẳng d.
b) Ghi kí
hiệu theo các diễn đạt ở câu a.
b
c
d
a
A
B
C
D
G
E
Bài 2. Cho hình vẽ:
a) Kể
tên các đường thẳng đi qua các điểm A, B, C, D
b)
Đường thẳng c không đi qua các điểm nào?
c)
Đường thẳng c đi qua những điểm nào? Ghi kết quả bằng kí hiệu.
d)
Đường thẳng a đi qua các điểm nào và không đi qua các điểm nào?
e)
Điểm E thuộc đường thẳng nào và không thuộc các đường thẳng nào? Ghi kết quả
bằng kí hiệu.
A
B
H
E
D
C
Bài 3. Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, biết rằng điểm M
không nằm giữa hai điểm N và P, điểm N không nằm giữa hai điểm M và P. Hỏi điểm
nào nằm giữa hai điểm còn lại? Giải thích.
Bài 4. Nhìn hình vẽ trả lời các câu hỏi sau:
a) Những
điểm nào thẳng hàng?
b) Điểm nào
nằm giữa hai điểm?
c) Hai điểm
nào nằm cùng phía đối với điểm thứ ba?
d) Điểm nào
không thẳng hàng với hai điểm E, H?
Bài
5. Vẽ năm đường
thẳng sao cho số giao điểm của chúng lần lượt là 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
giao điểm.
Bài 6. a) Cho 5 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm
nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm, ta kẻ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu
đường thẳng?
b) Cũng như
câu hỏi trên đối với n điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng
hàng.
c) Cho n
điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm trong
n điểm đó ta kẻ một đường thẳng. Biết rằng có 66 đường thẳng. Tìm n.
Bài 7. Cho đường thẳng xy, A, B, C thuộc xy theo thứ tự đó, điểm O không thuộc đường thẳng xy.
a)
Vẽ các tia OA, OB, OC.
b)
Kể tên những tia đối nhau trong hình vẽ.
c)
Kể tên các tia trùng nhau trong hình vẽ.
d)
Tia Ax và By có phải là hai tia đối nhau không?
Bài 8. Cho hình vẽ:
O
A
E
D
C
B
a) Kể
tên tất cả các tia (phân biệt).
b) Kể
tên những tia đối nhau.
c) Kể
tên những tia trùng nhau.
d)
Tia EB và tia ED có đối nhau không? Vì sao?
e)
Tia ED và tia DA có đối nhau không? Vì sao?
Bài 9. Trên đường thẳng xy, cho bốn điểm M, N, P, Q theo
thứ tự đó.
a)
Kể tên tất cả các tia được xác định trên đường thẳng xy.
b)
Kể tên tất cả các cặp tia đối nhau.
c)
Kể tên tất cả các tia trùng nhau.
Bài 10. Trên đường thẳng xy lấy điểm A và B (phân biệt). Qua
B vẽ đường thẳng pq và qua A vẽ đường thẳng mn sao cho pq cắt mn tại C.
a)
Vẽ hình theo diễn đạt trên.
b)
Trong hình vẽ đó có tất cả bao nhiêu tia?
c)
Qua B vẽ đường thẳng uv cắt AC tại điểm I nằm giữa A, C. Kể tên các tia đối
nhau, các tia trùng nhau trên đường thẳng mn.
d)
Hai tia CI và Am có trùng nhau không? Giải thích.
Bài 11. Trên đường thẳng a, vẽ năm điểm A, B, C, D, E. Có
mấy đoạn thẳng tất cả?
a)
Hãy kể tên các đoạn thẳng ấy.
b)
Các cặp đoạn thẳng nào không có điểm chung?
c)
Các đoạn thẳng nào có chung đoạn thẳng BD?
Bài 12. Vẽ sáu đoạn thẳng sao cho mỗi đoạn thẳng cắt đúng ba
đoạn thẳng khác.
Bài 13. Cho ba điểm C, O, D thẳng hàng và điểm C không nằm
giữa O và D. Cho biết CD = 10cm, OC = 7cm. Tính OD.
Bài 14. Cho AI = 1,8cm; BI = 2,2cm; AB = 2cm
Ba điểm A, B,
I có thẳng hàng không? Vì sao?
Bài 15. Trên tia Ox, xác định điểm A sao cho OA = 5cm; OB =
10cm
a)
Giải thích vì sao ta có thể làm được như vậy?
b)
Trong ba điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
c)
So sánh OA và OB.
Bài 16.
Trên tia Ox, xác định hai điểm A, B sao cho OA = 4cm, OB = 6cm
a) Tính AB.
b) Gọi I là trung điểm của AB. Tính IO.
So sánh OI với
Bài 17.
a) Trên đường thẳng x'x lấy ba điểm O, A, B theo thứ tự đó gọi I là trung điểm của AB. Chứng tỏ OI
=
b)
Gọi H là trung điểm của OA; K là trung điểm của OB; M là trung điểm của HK. Cho
biết OA = 4cm, AB = 2cm. Tính OM.
c) Điểm M có phải là trung điểm OI không?
Vì sao?
HÌNH HỌC CHƯƠNG 1
Bài 1. Trên
đường thẳng d lấy M,N,P,Q theo thứ tự ấy và điểm A không thuộc đường thẳng d
a)Vẽ tia AM, tia QA
b)Vẽ đoạn NA, đường thẳng AP.
c)Viết tên hai tia đối nhau gốc N và hai
tia trùng nhau gốc N.
d)Có tất cả mấy đoạn thẳng trên hình vẽ?
kể tên?.
Bài 2: Cho 4 điểm A,B,C,D không có 3 điểm nào thẳng hàng. Vẽ đường
thẳng AB, tia AC, tia DB, đoạn BC, điểm N nằm giữa B và C. Điểm K thuộc tia DB
sao cho K không nằm giữ D và B.
Bài 3: Vẽ M,N,P không thẳng hàng. Vẽ tia MN và MP.
a)Tia Mx cắt đường thẳng NP tại H nằm giữa
NP.
b)Tia My cắt đường thẳng NP tại K nằm
ngoài NP.
c)Đường thẳng a đi qua K và trung điểm I
của đoạn MN
Bài 4: Trên tia Ox lấy OA=3cm, OB=6cm.
a)Điểm nào nằm giữa, vì sao?
b)So sánh OA và AB.
c)Điểm A có là trung điểm OB không? Tại
sao?
Bài 5: Trên Ox lấy OA=7cm, OB=3cm.
a)Tính AB.
b)Trên tia đối Ox vẽ OC=3cm,Điểm O có là
trung điểm BC không vì sao?
Bài 6: Cho AB=6cm, vẽ M nằm giữa AB sao cho AM=2cm, C là trung điểm
MB.
a)Tính MB
b)Chứng minh M là trung điểm AC.
Bài 7: Trên AC=7cm lấy BC=3cm.
a)Tính AB.
b)Trên tia đối tia BA lấy D sao cho
DB=6cm. so sánh BC và CD
c)Điểm D có là trung điểm BD không?
Bài 8: Trên đường thẳng xy lấy theo thứ tự A,B,C sao cho AB=6cm,
AC=8cm,
a)Tính BC.
b)M là trung điểm AB, So sánh MC và AB.
Bài 9: Trên Ox lấy OA=7cm, OB=3cm.
a)Tính AB.
b)Trên tia Ox lấy OC=5cm. Trong 3 điểm
A,B,C điểm nào nằm giữa? Tính BC,CA?
c)C là trung điểm đoạn nào?
Bài 10: Trên đoạn thẳng AB=12cm lấy C sao cho AC=6cm.
a)Điểm C có là trung điểm AB?
b)Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC,CB
tính MN.
Bài 11: Cho đoạn thẳng AC=20cm. Trên AB lấy điểm C bất kì, gọi M,N
lần lượt là trung điểm AC,CB. Tính MN?
Bài 12: Cho đoạn thẳng AB dài 8cm,lấy điểm M sao cho AM = 4cm.
a.Tính độ dài đoạn thẳng MB.
b.Điểm M có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không ?vì
sao?
c.Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK = 4cm.So
sánh MK với AB.
Bài 13: Cho tia Ox ,trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA =
8cm,AB = 2cm.Tính độ dài đoạn thẳng OB.
Bài 14: Cho đoạn thẳng AB dài 5cm.Điểm B nằm giữa hai điểm A và C
sao cho BC = 3cm.
a.Tính AB.
b.Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao BD = 5cm.So sánh
AB và CD.
Bài 15:
a)Qua 20 điểm không có 3 điểm thẳng hàng
có bao nhiêu đường thẳng?
b)Qua 50 điểm trong đó có 10 điểm thẳng
hàng có bao nhiêu đường thẳng?
c)Biết qua 2 điểm nối lại thành 1 đoạn
thẳng, có tất cả 42 đoạn thẳng, hỏi có bao nhiêu điểm?
d)Cho 40 đường thẳng cắt nhau không có 3
đường thẳng đồng quy. Tính số giao điểm?
Bài 16: Cho đoạn thẳng AA0
goi A1 là trung điểm AA0, A2 la trung điểm AA1Tính
AA0/ AA1+ AA0/ AA2+ AA0/
AA9
CHƯƠNG II: GÓC.
1. Nửa mặt phẳng:
a, Mặt phẳng:
- Một mặt bàn, mặt
bảng, một tờ giấy trải rộng... cho ta hình ảnh của mặt phẳng.
- Mặt phẳng
không bị hạn chế về mọi phía.
b, Nửa mặt phẳng:
- Hình gồm đường
thẳng a và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a được gọi là một nửa mặt phẳng bờ
a.
- Hai nửa mặt phẳng
có chung bờ gọi là hai nửa mặt phẳng đối nhau.
- Bất kì đường
thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau.
2. Góc:
a, Góc:
- Góc là hình gồm
hai tia chung gốc. Gốc chung của hai tia gọi là đỉnh của góc. Hai tia là hai cạnh
của góc.
- Góc bẹt là góc
có hai cạnh là hai tia đối nhau.
b, Số đo góc:
- Mỗi góc có một
số đo xác định, lớn hơn 0 và không vượt quá 1800. Số đo của góc bẹt
là 1800.
- Hai góc bằng
nhau nếu số đo của chúng bằng nhau. Trong hai góc không bằng nhau thì góc nào
có số đo lớn hơn là góc lớn hơn.
- Góc vuông là
góc có số đo bằng 900. Số đo của góc vuông còn được kí hiệu là 1v.
- Góc nhọn là
góc có số đo lớn hơn 00 và nhỏ hơn 900.
- Góc tù là góc
có số đo lớn hơn 900 và nhỏ hơn 1800.
- Chú ý: Đơn vị
đo góc là độ, phút, giây: 10
= 60' ; 1' = 60''.
- Hai góc kề
nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng
đối nhau có bờ là đường thẳng chứa cạnh chung.
- Hai góc phụ
nhau là hai góc có tổng số đo bằng 900.
- Hai góc bù
nhau là hai góc có tổng số đo bằng 1800.
- Hai góc kề bù
là hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau (hai góc có 1 cạnh chung và 2 cạnh còn lại
là 2 tia đối nhau).
3. Tia phân giác của góc:
- Tia phân giác
của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng
nhau.
4. Đường tròn:
- Đường tròn tâm
O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, kí hiệu (O;R).
- Với mọi điểm M
nằm trong mặt phẳng thì:
+ Nếu OM < R: điểm M nằm trong đường
tròn
+ Nếu OM = R: điểm M nằm trên (thuộc)
đường tròn.
+ Nếu OM > R: điểm M nằm ngoài đường
tròn.
- Hình tròn: là
hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm bên trong đường tròn đó.
- Cung, dây
cung, đường kính:
+ Hai điểm A, B
nằm trên đường tròn chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cung
tròn (cung). Hai điểm A, B là hai mút của cung.
+ Đoạn thẳng AB
gọi là một dây cung.
+ Dây cung đi
qua tâm là đường kính.
- Đường kính dài
gấp đôi bán kính và là dây cung lớn nhất.
5. Tam giác:
- Tam giác ABC
là hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA khi ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Kí hiệu:
DABC.
- Một tam giác
có: 3 cạnh, 3 đỉnh, 3 góc.
- Một điểm nằm
bên trong tam giác nếu nó nằm trong cả 3 góc của tam giác. Một điểm không nằm
trong tam giác và không nằm trên cạnh nào của tam giác gọi là điểm ngoài của
tam giác.
* Ta đã dùng
compa và thước thẳng để vẽ được đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt, vẽ được
các đoạn thẳng trên tia, vẽ đường tròn, tam giác,... Sau này các em được làm
quen một loại bài toán gọi là "
toán dựng hình bằng thước và compa"
* Những sai lầm cần chú ý:
- Ví dụ: Cho 3 điểm A, B, C, có bao nhiêu
đường thẳng vẽ qua các điểm đó?
Trả lời: Có 3 đường
thẳng.
Sai lầm ở chỗ: nếu
A, B, C thẳng hàng thì chỉ có một đường thẳng mà thôi.
- Ví dụ: Trên đường thẳng xy, lấy ba điểm
A, B, C. Điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
Sai lầm thường gặp:
Một số em lấy thứ tự khi viết "A, B, C" để trả lời B nằm giữa A và C.
=> Cần xem
xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra.
- Với 3 điểm A,
B, C thẳng hàng ta có một đường thẳng duy nhất, tên đường thẳng duy nhất đó có
thể là AB hoặc BC hoặc AC. Nhưng với 3 điểm thẳng hàng ta có 3 đoạn thẳng khác
nhau là AB, BC, AC.
- Không vội vàng
kết luận vị trí tương đối giữa một đoạn thẳng và đường thẳng nếu như chưa xét tất
cả các trường hợp vị trí hai đầu mút của
đoạn thẳng đó đối với đường thẳng cho trước.
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh
tia nằm giữa 2 tia
-Nếu M thuộc Ox, N thuộc
Oy mà MN cắt Oz thì Oz nằm giữa
-Nếu Ox và Oy là hai
tia đối nhau thì mọi tia đều nằm giữa.
-Trên cùng nửa mặt phẳng
bờ Ox vẽ xOz=m. xOy=n, nếu n>m thì Oz nằm giữa
-Nếu xOz+zOy=xOy thì Oz
nằm giữa.
-Nếu Ox và Oy nằm trên
2 nửa mặt phẳng bờ Oz thì Oz nằm giữa.
-Nếu Oz là tia phân
giác góc xOy thì Oz nằm giữa.
-Nếu hai x0y và x0z kề nhau mà:
x0y + x0z 1800
thì tia 0x nằm giữa hai tia 0y và 0z.
x0y + x0z > 1800 thì tia đối của tia 0x nằm giữa hai tia 0y và 0z
Ví dụ 1:Trên cùng một nửa mặt phẳng cho trước có
bờ chứa tia Oa xác định ba tia: Ob, Oc,
Od sao cho aOb = 200, aOc = 500,
aOd = 800
. Hỏi tia Oc có là tia phân giác của b0d không ? Vì sao.
Bài giải
Vì aOb và aOc cùng
thuộc một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oa
mà aOb < aOc ( 200
< 500 ) nên tia Ob nằm giữa hai tia Oa và Oc ta có :
aOb + bOc = aOc
200 +bOc = 500bOc = 500 - 200 bOc = 300
Vì aOc và aOd cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oa
mà aOc < aOd ( 500
< 800 ). Nên tia Oc nằm giữa hai tia Oa và Od ta có :
aOc + cOd = aOd
500
+ cOd = 800
cOd = 800 - 500 cOd = 300
Vì aOb và aOd cùng
thuộc một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oa
mà aOb < aOd ( 200 < 800 ) nên tia
Oc nằm giữa hai tia Oa và Od ta có:
aOb + bOd = aOd
200
+ bOd = 800bOd = 800 - 200bOd = 600
Vì bOc + cOd = 300 + 300 = 600,
mà bOd = 600
ta có bOc + cOd = bOd tia Oc nằm giữa hai tia Ob và Od (1)
Mặt khác
bOc = cOd = 300 (2)
Từ (1) và (2) ta có tia Oc là tia phân giác của bOd
Ví dụ 2 : Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa
tia 0A , vẽ hai tia 0B và 0C sao cho B0A = 1450 , C0A =550 . Tính số đo B0C.
Bài giải
Vì A0B và A0C cùng thuộc một nửa mặt phẳng cho trước có bờ
chứa tia 0A mà C0A < B0A ( 550 < 1450 ) nên
tia 0C nằm giữa hai tia 0A và 0B
Ta có : A0C + C0B = A0B
550 + C0B0 = 1450C0B = 1450 - 550C0B = 900
Đáp số : C0B = 900
Ví dụ 3:Cho tia 0y là tia phân
giác của góc x0z .
Chứng tỏ rằng x0y = x0z
Bài giải
Vì tia 0y là tia
phân giác của x0z nên : Tia 0y nằm giữa hai tia 0x và 0z
x0y + y0z = x0z (1)
Vì 0y là tia
phân giác của x0z nên x0y = y0z (2) .
Từ (1) và (2), ta có 2x0y = x0z. Vậyx0y = x0z
Ví dụ 4: Cho đường thẳng a , lấy
điểm ba điểm A; B; C theo thứ tự đó trên
đường thẳng a. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a , kẻ hai tia Bx và
By sao cho
CBx = 1300 , ABy = 500 .
Chứng minh tia
BA là tia phân giác của xBy.
Bài giải :
Vì góc CBx và góc ABx là hai góc
kề bù ta có :
CBx + ABx = 180
1300
+ ABx = 1800ABx = 1800
- 1300ABx = 500
Do đó ABx = ABy = 500
( 1)
Mặt khác hai góc ABx và góc ABy là hai góc kề
nhau,
mà ABx +ABy = 500 + 500 = 1000 <
1800
tia BA nằm giữa
hai tia Bx và By ( 2) .
Từ (1) và (2) ta có tia BA là tia phân giác của góc xBy .
Ví dụ 5: Cho hai góc kề nhau: A0B và B0C có A0B = 1200 ; B0C = 1000 .
Tính số đo của A0C .
Bài giải
Gọi 0D là tia đối của tia 0B . Ta có D0A và A0B là hai góc kề bù nên :
A0D + A0B = 1800
A0D + 1200 = 1800
A0D
= 1800 - 120 0
A0D
= 600
Góc D0C và góc C0B là hai góc kề
bù nên :
D0C + C0B = 1800
D0C + 1000
= 1800
D0C
= 1800 - 1000
D0C
= 800
Vì A0B và B0C kề nhau mà A0B + B0C =1200 + 1000 = 2200 > 1800 nên
tia 0D là tia đối của tia 0B nằm giữa hai tia 0A và 0C
Ta có : A0D + D0C = A0C
600
+ 800 = A0C
A0C = 140 0
Đáp số: A0C = 140 0
Ví dụ 6: Gọi M là trung
điểm của đoạn thẳng AB . Vẽ điểm N nằm giữa M
và B . Lấy điểm 0 nằm ngoài đường thằng AB . Giả sử A0B = 1000 ; A0M = 600 ;
M0N = 200 . Tính số đo N0B ?
Bài giải
Vì điểm M là trung điểm của đoạn
thẳng AB nên điểm M nằm giữa hai điểm A và B suy ra tia 0M nằm giữa hai tia 0A
và 0B ta có :
A0M + M0B = A0B
600 + M0B = 1000
M0B = 1000-600
M0B = 400
Vì điểm N nằm giữa
hai điểm M và B nên tia 0N nằm giữa hai
tia 0M và 0B ta có:
M0N + N0B = M0B
200 + N0B = 400
Suy ra N0B = 400 -200
N0B = 20 0
Đáp số : N0B = 200
Trên đây là 5 cách nhận biết tia nằm
giữa hai tia . Trong khi thực hiện ta thấy đối với một bài toán ta có thể sử dụng
bằng nhiều cách để chỉ ra tia nằm giữa xong ta nên chọn cách nào phù hợp và thuận
lợi nhất .
Ngược lại, trong một bài toán tính số đo góc ta có thể phải sử dụng kết hợp nhiều cách chỉ
ra điểm nằm giữa để hoàn thành bài làm.Sau đây là một vài bài tập tổng hợp thể
hiện điều đó.
BÀI TẬP
Bài 1:
Gọi 0 là một điểm thuộc đường thẳng a,a . Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ là đường thẳng a,a ,
vẽ hai tia 0b và 0c sao cho a0b = 300 , a0c = 1200 .
a/ Tính số đo b0c .
b / Trên nửa mặt phẳng đối của nửa
mặt phẳng chứa tia 0c có bờ là đường thẳng a,a , vẽ tia 0e sao cho a,0e
= 500 . Tính số đo c0e ?
Đáp số: c0e = 1100
Bài 2:Cho tia 0t nằm giữa hai tia 0a và
0b không đối nhau ; 0m là tia phân giác của góc a0t ; 0n là tia phân giác của
góc b0t . Giải thích vì sao tia 0t nằm giữa hai tia 0m và 0n ?
Bài 8. Cho góc xOy tù. Vẽ tia Om nằm trong góc xOy sao cho = 900. Vẽ tia On nằm trong góc xOy sao cho = 900.
a) Kể
tên các góc có trong hình vẽ.
b) Kể
tên các cặp góc phụ nhau.
c) So
sánh góc mOy và nOy.
d)
Nếu = 1260.
Tính số đo của .
Bài 9. Biết tia OA nằm giữa hai tia OB và OC và = 480,
= 390.
a)
Tính
b)
Gọi OD là tia đối của OC. Tính,
Bài 10. Gọi O là một điểm trên đường thẳng xy. Trên cùng một
nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Ot, Oz sao cho =1210,
= 460
a)
Tính số đo của góc yOz
b)
Tính số đo của góc zOt
c)
Gọi Om là tia đối của tia Oz. So sánh và
Bài 11. Cho hai góc kề nhau: và . Gọi OA và OB lần lượt là các tia phân giác của và . Tính biết rằng + = 1050.
Bài 12. Cho hai góc AOB và BOC kề nhau, gọi OD là phân giác .
a)
Chứng minh tia OB nằm giữa hai tia OD và OC.
b)
Chứng minh
c)
Giả sử > chứng minh tia
OE nằm giữa 2 tia OB và OC.
Suy ra
d)
Trong trường hợp < kết quả câu (c)
sẽ thay đổi như thế nào?
Bài 13. Cho = 1000 và Oz là phân giác góc xOy, vẽ tia
Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy sao cho = 750.
a)
Tính
b)
Chứng tỏ rằng tia Ot là phân giác của
Bài 14. Cho bốn tia OA, OB, OC, OD chung gốc O theo thứ tự đó
sao cho < 1800=. Gọi Ox là tia phân giác của , chứng tỏ Ox cũng là phân giác của
Bài 15. Cho đoạn thẳng OO' bằng 2cm.
a) Vẽ
đường tròn tâm O bán kính 1,5cm, đường tròn này cắt đoạn thẳng OO' tại C và cắt
đường thẳng OO' ở D.
b) Vẽ
đường tròn tâm O' bán kính bằng 1cm, đường tròn này cắt đoạn thẳng OO' tại E và
cắt đường thẳng OO' tại F. Hai đường tròn trên cắt nhau ở A và B.
c)
Hãy kể tên đường kính của đường tròn (0; 2cm) và đường kính của đường tròn (0;
1,5cm) và các dây cung của hai đường tròn trên, rồi tính các đường kính đó.
d)
Hãy chứng tỏ E là trung điểm của OO'.
e)
Tính độ dài đoạn thẳng DF.
Bài 16. Cho DABC, I là một điểm nằm trong DABC. Tia AI cắt đường thẳng BC tại D.
a)
Giải thích vì sao điểm D nằm giữa hai điểm B và C và điểm I nằm giữa A và D.
b)
Tia CI cắt AB ở E và tia BI cắt AC tại F. Hãy kể tên tất cả các tam giác trong hình
vẽ.
Bài 17. Cho DABC. Vẽ đường thẳng a không đi qua các đỉnh của tam giác và cắt cạnh AB.
Chứng minh rằng đường thẳng a cắt một và chỉ một trong hai cạnh AC và BC.
Bài 18. Cho hai góc kề bù xOy và yOz. Trên tia Oy lấy điểm A,
trên tia Ox lấy điểm B, trên tia AD lấy điểm C sao cho AB < AC
a)
Tia Ox có nằm giữa hai tia OA và OC không? Vì sao?
b)
Cho ; Tính số đo góc
AOC.
Bài 19. Cho hai góc kề nhau AOB và BOC sao cho = 500; = 800.
Vẽ tia OD là tia đối của tia OC.
a)
Tính số đo góc AOC.
b)
Chứng tỏ tia OA nằm giữa hai tia OB và OD.
c)
Tia OA có phải là phân giác của ? Vì sao?
Bài 20. Cho góc tù xOy. Bên trong góc xOy, vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900
và vẽ tia On sao cho góc yOn bằng 900.
a)Chứng
minh góc xOn bằng góc yOm.
b)Gọi
Ot là tia phân giác của góc xOy.Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của góc mOn.
Bài 21.Cho góc aOb và tia Ot nằm giữa Oa, Ob. Các tía Om, On theo thứ tự là tia
phân giác của góc aOt và góc bOt . Chứng
tỏ rằng .
Bài 22. Cho góc AOB và tia phân giác Ox của nó. Trên nửa mặt phẳng chứa tia OB với
bờ là đường thẳng OA, vẽ tia Oy sao cho AÔy
> AÔB. Chứng tỏ rằng:
a) Tia
OB nằm giữa hai tia Ox, Oy.
b)
Bài 23: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa
tia Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy bằng 600, góc xOz bằng
1200.
a, Tính góc
yOz? b,Tia Oy có phải là tia phân giác
của góc xOz không?
c,
Gọi Ot là tia đối của tia Oy. Tính góc kề bù với góc yOz?
Bài 24: Cho xOy và yOz là hai góc kề bù,
Gọi Ot và Ot lần lượt là tia p/g của góc xOy và góc yOz. Tính góc tOt.
Bài 25.
Cho góc bẹt xOy. Vẽ tia Oz sao cho góc xOz = 700
a) Tính góc zOy?
b) Trên nửa
mặt phẳng bờ chứa tia Oz vẽ tia Ot sao cho góc xOt bằng 1400. Chứng
tỏ tia Oz là tia p/g của góc xOt?
c) Vẽ tia Om là tia đối của tia Oz. Tính góc
yOm.
Bài 26.Vẽ tam giác ABC biết:
a) AB = 3cm; BC = 5cm; AC =
4cm b) AB = 6cm; BC = 7cm; AC = 8cm.
Bài 27: Trên
cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ hai tia Ot và Oy sao
cho ; .
1)Trong ba tia Ox, Ot,
Oy tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao?
2)Tính số đo ? 3, Tia Ot có là tia phân giác của
không ? Vì sao?
Bài 28: Cho hai tia Oy và Ot cùng nằm trên nửa mặt bờ có bờ chứa
tia Ox. Biết ; .
1.Tia Ot có nằm giữa hai
tia Ox và Oy không? Vì sao?
2.Tính số đo 3. Gọi tia Oz là tia đối của tia Ox.
Tính số đo
4.Tia Oy có phải là tia
phân giác của không? Vì sao?
Bài 29: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia
Ox, vẽ hai tia Oy và Oz sao cho ; . Vẽ Om là phân giác của , On là phân giác của .
1. Tính số đo của ; ; ? 2. Tia Oy có là tia phân giác của không ? Vì sao?
3.Gọi Ot là tia đối của
tia Oy. Tính số đo của ?
Bài 30: Cho hai góc kề bù và với
1.Tính số đo
2. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AD chứa tia BC vẽ .
Tia
BM có phải là tia phân giác của không? Vì sao?
Bài 31: Vẽ góc bẹt . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ xy, vẽ,
1. Tính số đo
2.Vẽ tia Oz là tia đối của
tia Om. Tia Oy có phải là tia phân giác của không? Vì sao?
Bài 32: Cho kề bù với . 1. Tính số đo = ?
2. Vẽ tia
phân giác Om của . Tính số đo của = ? 3.Vẽ
tia phân giác On của .Tính số đo của = ?
Bài 33: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia
Ox, vẽ hai tia Oy và Oz sao cho ; . 1. Tính số đo của ? 2. Tia Oz có là tia phân giác của không ? Vì sao?
3. Gọi Ot là tia đối của tia Oz. Tính số đo của
?
Bài 34: Vẽ và kề bù sao cho = 1300..
a, Tính số đo của ? b, Vẽ tia Ot nằm trong sao cho . Tính số đo ?
c, Tia Oy có phải là tia phân giác của không? Vì sao?
Bài 35: Vẽ
hình theo cách diễn đạt bằng lời:
a) - Vẽ tia Oa
- Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa
tia Oa, vẽ các tia Ob, Oc sao cho,
=
1100
- Trong 3 tia Oa,
Ob, Oc tia nào nằm giữa hai tia còn lại?
b) - Vẽ tia Ox, Oy
sao cho = 800
- Vẽ tia Ot nằm
giữa hai tia Ox, Oy sao cho = 400
- Tia Ot có là tia
phân giác của góc xOy không? Vì sao?
c) + Vẽ đoạn AB =
6cm
+ Vẽ đường tròn
(A; 3cm)
+ Vẽ đường tròn
(B; 4cm)
+ Đường tròn
(A; 3cm) cắt (B; 4cm) tại C và D
+ Tính chu vi
tam giác ABC và tam giác ADB
d) Vẽ tam giác MNP
biết MN = 5cm; NP = 3cm; PM = 7cm
Bài 36: Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Om, vẽ các tia
On, Op sao cho =
500, =
1300
a) Trong 3 tia Om, On, Op tia nào nằm giữa
hai tia còn lại? Tính góc nOp.
b) Vẽ tia phân giác Oa của góc nOp. Tính góc
aOp?
Bài 37: Cho hai góc kề nhau aOb và aOc sao cho aOb = 350 và aOc = 550. Gọi Om là tia đối của tia Oc.
a) Tính số đo các góc: aOm và bOm?
b) Gọi On là tia phân giác của góc bOm. Tính
số đo góc aOn?
c) Vẽ tia đối của tia On là tia On.
Tính số đo góc mOn
Bài 38: Cho 2 đường tròn (O; 4cm) và (O; 2cm) sao cho khoảng cách
giữa hai tâm O va O là 5cm. Đường tròn (O; 4cm) cắt đoạn OO tại điểm Avà
đường tròn (O; 2cm) cắt đoạn OO tại B.
a) Tính OA, BO, AB?
b) Chứng minh A là trung điểm của đoạn
OB?
Bài 39:
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ tia Ot và Oy sao cho góc xOt
= 300 ; góc xOy = 600.
Hỏi
tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao?
Tính
góc tOy?
Tia
Ot có là tia phân giác của góc xOy hay không? Giải thích.
Bài 40:
Trên một nửa mặt phẳng bờ có chứa tia Ox, vẽ 2 tia Oy và Oz sao cho góc xOy =
300,
Góc xOz = 1100.
Trong
3 tia Ox, Oy, Oz, tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao?
Tính
góc yOz.
Vẽ
Ot là tia phân giác của góc yOz. Tính góc zOt và góc tOx.
Bài 41: Hình
vẽ bên cho 4 tia, trong đó 2 tia Ox và Oy đối nhau, tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và
Ot.
Hãy
liệt kê các cặp góc kề bù có trong hình vẽ.
Tính
góc tOz nếu biết góc xOt = 600, và góc yOz = 450.
y
x
t
z
O
Bài 42. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
chứa tia Ox, vẽ các tia Oy, Oz sao cho góc góc
a, Tia Oy có nằm
giữa hai tia Ox và Oz không? Vì sao?
b, Tính góc yOz.
c, Tia Ot có phải
là tia phân giác của góc xOy không? Vì sao?
Bài 43.Trên cùng một nữa mặt
phẳng có bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oz và Oy sao cho :
xOz = 40 ; xOy = 80
a/ Hỏi tia nào nằm giữa 2 tia còn lại
? Vì sao ?
b/ Tính zOy
c/ Chứng tỏ rằng tia Oz là tia phân
giác của xOy
Bài 44:Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox. Vẽ tia Oy và Oz sao cho xOy =
500, xOz =
1000
a/
Trong ba tia Ox, Oy và Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao?
b/
So sánh xOy và yOz ?
c/
Tia Oy có là tia phân giác của góc xOz không? Vì sao?
Bài 45Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ tia Ot, Oy sao
cho ; .
a) Trong ba tia Ox , Oy, Ot tia nào năm giữa hai tia
còn lại ? Vì sao?
b) So sánh góc và góc ?
c) Tia Ot có là tia phân giác của góc xOy không? Vì
sao?
d) Vẽ tia Oz là tia đối của tia
Ox, khi đó tia Oy có là phân giác của góc zOt không? Vì sao?
Bài 46: Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy và Oz
sao cho góc xOy = 800; góc xOz = 400
Trong ba tia Ox, Oy,
Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì Sao ?
Tính số đo góc zOy ?
Chứng tỏ tia Oz là
tia phân giác của góc xOy ?
Bài 47. Trên nữa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ xÔz = 350 , xÔy = 700
.
a.Tia
nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ?
b.Tính
zÔy ?
c.Tia
Oz có phải là tia phân giác của góc xÔy không ? Vì sao ?
d.Gọi
Om là tia phân giác của góc xOz . tính mÔy ?
e.Gọi
Ot là tia đối của tia Ox . Tính tÔy ?
Bài 48. Trên
cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ tia Oy và tia Ot sao cho = 800, =
1600.
a)Tia nào nằm giữa hai tia còn
lại ? Vì sao ?
b)Tính góc tOy ?
c)Tia Ot có là tia phân giác
của góc xOy không ? Vì sao ?
d)Vẽ tia Om là tia đối của tia
Ox, kể tên các cặp góc kề bù trên hình.
Bài 49.
Cho góc xOy có số đo bằng 800 Vẽ tia phân giác Ot của góc đó. Vẽ
tia Om là tia đối của tia Ot.
Tính góc xOm
So sánh góc xOm và Góc
yOm
Om có phải là tia phân
giác của góc xOy không?
ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1: Vẽ đường tròn tâm O bán kính bằng 2cm.
a.Lấy
3 điểm A,B,C sao cho OA=OB=OC=2cm, trong đó OA,OB là hai tia đối nhau trên
đường tròn. Hãy xác định vị trí 3 điểm trên đường tròn.
b.Trên
hình vẽ có bao nhiêu dây cung? Dây cung nào lớn nhất, hãy kể tên?
c.Lấy
D và E sao cho OD=1,5cm, OE=3cm. Hãy xác định vị trí của D và E với đường tròn
O.
Bài 2:
a.Vẽ
đường tròn (O;2cm).
b.Lấy
điểm A bất kì trên đường trong (O;2cm) vẽ (A;2cm) đường tròn này cắt (O;2cm)
tại C và D.
c.Vẽ
(C;2cm).
d.Chứng
tỏ rằng (C;2cm) đi qua O và A.
Bài 3: Cho AB=3cm, vẽ (A;2,5cm) và (B;1,5cm) hai đường tròn này cắt
nhau tại C và D.
a.Tính
độ dài CA,CB,DA,DB.
b.Tại
sao (B;1,5cm) tại cắt đoạn thẳng AB tại trung điểm I.
c.Đường
tròn (A;2,5cm) cắt AB tại K. Tính KB?
Bài 4: Cho AB=6cm, vẽ (A;5cm), (B;3cm), hai đường tròn này cắt nhau
tại M và N, các đường tròn tâm A và B theo thứ tự cắt đoạn thẳng AB tại C và D.
a.Tính
AM và BM.
b.Chứng
minh D là trung điểm của AB.
c.Tính
CD.
Bài 5: Cho AB=3cm.
a.Vẽ
(A;1,5cm) và (B;1cm), hỏi điểm nào vừa cách A là 1,5cm, vừa cách B là 1cm?
b.Nêu
các bước vẽ điểm M vừa cách A là 3cm vừa cách B là 3cm.
Bài 6: Cho AB=4cm, dựng đường tròn tâm O nhận AB làm đường kính.
Bài 7: Cho đường tròn có bán kính là 2, nêu cách xác định tâm và
bán kính đường tròn.
Bài 8:
a.Vẽ
(O;3cm)
b.Lấy
A bất kì trên (O;3cm) vẽ (A;2cm), đường tròn này cắt (O;3cm) tại C và D.
c.Vẽ
(C;3cm)
d.Chứng
tỏ (C;3cm) đia qua O và A.
Bài 9: Vẽ đoạn AB =
6cm
a.Vẽ đường tròn (A;
3cm).
b. Vẽ đường tròn (B; 4cm).
c. Đường tròn (A; 3cm) cắt (B; 4cm) tại C và D.
d. Tính chu vi tam
giác ABC và tam giác ADB
Bài 10: Cho 2 đường tròn (O; 4cm) và (O; 2cm) sao cho khoảng
cách giữa hai tâm O và O là 5cm. Đường tròn (O; 4cm) cắt đoạn OO tại điểm A
và đường tròn (O; 2cm) cắt đoạn OO tại B.