Cách chứng minh 2 tam giác đồng dạng

Đây là bài thứ 19 of 23 trong series Phương pháp chứng minh hình học THCS

Để chứng minh 2 tam giác đồng dạng thì các em cần phải nắm được lý thuyết hai tam giác đồng dạng và các cách chứng minh mà Toancap2.net đưa ra dưới đây.

Nhắc lại một ít lý thuyết về tam giác đồng dạng.

Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường :

Trường hợp đồng dạng 1 : 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau (c c c)

xét ABC và DEF, ta có :

=> ABC ~ DEF (c c c)

Trường hợp đồng dạng 2 : 2 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau góc xen giữa hai cạnh bằng nhau(c g c)

xét ABC và DEF, ta có :

=> ABC ~ DEF (c g c)

Trường hợp đồng dạng 3 : hai góc tương ứng bằng nhau(g g)

xét ABC và DEF, ta có :

=> ABC ~ DEF (g g)

II. Các định lí đồng dạng của hai tam giác vuông

1. Định lí 1 : (cạnh huyền cạnh góc vuông)
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
2. Định lí 2 : (hai cạnh góc vuông)
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
3. Định lí 3: ( góc)
Nếu góc nhọn của tam giác này bằng góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng Hệ thức :

---

Bài toán 1 :

cho ABC (AB < AC), có AD là đường phân giác trong. Ở miền ngoài ABC vẽ tia Cx sao cho . Gọi I là giao điểm của Cx và AD. cmr :

a) ADB đồng dạng CDI.

b)

c) AD2 = AB.AC BD.DC

Giải

a)ADB và CDI , ta có :

(gt)

(đối đỉnh)

=> ADB ~ CDI

b) )ABD và AIC , ta có :

(ADB ~ CDI)

(AD là phân giác)

=> ABD ~ AIC

=>

c)=> AD.AI = AB.AC (1)

mà : (ADB ~ CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

AB.AC BD.CD = AD.AI AD.DI = AD(AI DI ) = AD.AD = AD2

---

Bài toán 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH . Chứng minh các hệ thức :

a. AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC

b. AB2 +AC2 = BC2

c. AH2 = BH.CH

d. AH.BC = AB.AC

Giải.

Xét hai ABC và HAC, ta có :1. AC2 = CH.BC :

là góc chung.

=> ABC ~ HAC (g g)

=>

=> AC2 = CH.BC (1)

Cmtt : AB2 = BH.BC (2)

2. AB2 +AC2 = BC2

Từ (1) và (2), ta có :

AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC2

3.AH2 = BH.CH :

Xét hai HBA và HAC, ta có :

cùng phụ

=> HBA ~ HAC (g g)

=>

=> AH2 = BH.CH

4. AH.BC = AB.AC :

Ta có : (ABC ~ HAC)

=> AH.BC = AB.AC.

---

Dạng 2 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng Định lí Talet + hai đường thẳng song song:

Bài toán :

Cho ABC nhọn. kẻ đường cao BD và CE. vẽ các đường cao DF và EG của ADE. Chứng minh

a) ABD đồng dạng AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

Giải

a) xét ABD và AEG, ta có :

BD AC (BD là đường cao)

EG AC (EG là đường cao)

=> BD // EG

=> ABD ~ AGE

b) =>

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ABC, ta có :

AB.AG = AC.AF (cmt)

=> FG // BC (định lí đảo talet)

---

Dạng 3 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng góc tương ứng bằng nhau

Bài toán:

Cho ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh :

a) HBE đồng dạng HCE.

b) HED đồng dạng HBC và

c) cho biết BD = CD. Gọi M là giao điểm của AH và BC. chứng minh : DE vuông góc EM.

Giải

a)xét HBE và HCD, ta có :

(gt)

(đối đỉnh)

=> HBE ~ HCD (g g)

b) HED và HBC, ta có :

(HBE ~ HCD)

=>

(đối đỉnh)

=> HED ~ HBC (c g c)

=> (1)

mà : Đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

=> H là trực tâm.

=> AH BC tại M.

=>

mặt khác :

=> (2)

từ (1) và (2) :

hay :

c) cmtt câu b, ta được : (3)

xét BCD, ta có :

DB = DC (gt)

=> BCD cân tại D

=>

mà : (HED ~ HBC)

=>

mà :

(cmt)

=>

hay :

=> ED EM.

Series Navigation<< 5 cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quyVí dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau >>