Cách giải phương trình bậc 3 có 2 nghiệm
Cách giải phương trình bậc 3 có 2 nghiệmA. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 TỔNG QUÁT 2. Phương pháp Cardano 3. Phương pháp lượng giác hoá B. VÍ DỤ MINH HỌA Phương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử. Trước khi nghĩ tới công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình: $3{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0.$ Nhận xét: Ví dụ trên là một phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ và được giải nhờ khéo léo biến đổi đẳng thức. Tuy nhiên, những bài đơn giản như thế này không có nhiều. Sau đây ta sẽ đi sâu vào công thức Cardano: Ví dụ 2. Giải phương trình: ${x^3} – 3{x^2} + 4x + 11 = 0.$ Đặt $x = y + 1$, thế vào phương trình đầu bài, ta được: ${y^3} + 1.y + 13 = 0.$ Nhận xét: Ví dụ trên là một ứng dụng cơ bản của công thức Cardano. Tuy nhiên, công thức này không hề dễ nhớ và chỉ được dùng trong các kì thi học sinh giỏi. Vì thế, có lẽ chúng ta sẽ cố gắng tìm một con đường “hợp thức hóa” các lời giải trên, đó là phương pháp lượng giác hoá. Đầu tiên xét phương trình dạng $x^3 + px + q = 0$ với $p <0$ và có $1$ nghiệm thực: Ví dụ 3. Giải phương trình: ${x^3} + 3{x^2} + 2x – 1 = 0.$ Đầu tiên đặt $x=y-1$ ta đưa về phương trình ${y^3} – y – 1 = 0$ $(1)$, đến đây ta dùng lượng giác như sau: Nhận xét: Câu hỏi đặt ra là: “Sử dụng phương pháp trên như thế nào?”. Muốn trả lời, ta cần làm sáng tỏ hai vấn đề: Ví dụ 4. Giải phương trình: ${x^3} – {x^2} – 2x + 1 = 0.$ Đặt $y = x – \frac{1}{3}$, ta được phương trình: ${y^3} – \frac{7}{3}y + \frac{7}{{27}} = 0$ $(*).$ Nhận xét: Ta cũng có thể chứng minh phương trình vô nghiệm khi $\left| y \right| \ge \frac{{2\sqrt 7 }}{3}$ bằng cách đặt $y = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\left( {t + \frac{1}{t}} \right)$ giống như ví dụ 3, từ đó dẫn tới một phương trình trùng phương vô nghiệm. Ví dụ 5. Giải phương trình: ${x^3} + 6x + 4 = 0.$ Ý tưởng: Ta sẽ dùng phép đặt $x = k\left( {t – \frac{1}{t}} \right)$ để đưa về phương trình trùng phương. Để ý phép đặt này không cần điều kiện của $x$, vì nó tương đương $k\left( {{t^2} – 1} \right) – xt = 0.$ Phương trình trên luôn có nghiệm theo $t$. Ví dụ 6. Giải phương trình $4{x^3} – 3x = m$ với $\left| m \right| > 1.$ Nhận xét rằng khi $\left| x \right| \le 1$ thì $\left| {VT} \right| \le 1 < \left| m \right|$ (sai) nên $\left| x \right| \ge 1.$ Vì vậy ta có thể đặt $x = \frac{1}{2}\left( {t + \frac{1}{t}} \right)$, ta được phương trình: $\frac{1}{2}\left( {{t^3} + \frac{1}{{{t^3}}}} \right) = m.$ |