Cho phương trình x^3 3x 2 + 3 = 0 Khẳng định nào sau đây đúng
|
Tìm các giá trị của m để phương trình : x3– 3x2– m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Câu hỏi: Cho phương trình \({x^3} – 3{x^2} + 3 = 0\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
Lời giải tham khảo: Đáp án đúng: B
Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + 3\), hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { – 1} \right) = – 1\\f\left( 0 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( { – 1} \right).f\left( 0 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( { – 1;0} \right)\). \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 1\\f\left( 2 \right) = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( {1;2} \right)\). \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = – 1\\f\left( 3 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( 2 \right).f\left( 3 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( {2;3} \right)\). Do \(\left( { – 1;0} \right) \cap \left( {1;2} \right) \cap \left( {2;3} \right) = \emptyset \) nên ta sẽ có 3 nghiệm phân biệt và \({x^3} – 3{x^2} + 3 = 0\) là phương trình bậc ba nên sẽ có tối đa 3 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt. Chọn B. Phương pháp giải: Sử dụng định lí: Nếu hàm số (y = fleft( x right)) liên tục trên đoạn (left[ {a;b} right]) và (fleft( a right).fleft( b right) < 0) thì tồn tại ít nhất một điểm (c in left( {a;b} right)) sao cho (fleft( c right) = 0). Giải chi tiết: Đặt (fleft( x right) = {x^3} - 3{x^2} + 3), hàm số liên tục trên (mathbb{R}). Ta có: (left{ begin{array}{l}fleft( { - 1} right) = - 1\fleft( 0 right) = 3end{array} right. Leftrightarrow fleft( { - 1} right).fleft( 0 right) < 0) nên phương trình (fleft( x right) = 0) có ít nhất 1 nghiệm thuộc (left( { - 1;0} right)). (left{ begin{array}{l}fleft( 1 right) = 1\fleft( 2 right) = - 1end{array} right. Leftrightarrow fleft( 1 right).fleft( 2 right) < 0) nên phương trình (fleft( x right) = 0) có ít nhất 1 nghiệm thuộc (left( {1;2} right)). (left{ begin{array}{l}fleft( 2 right) = - 1\fleft( 3 right) = 3end{array} right. Leftrightarrow fleft( 2 right).fleft( 3 right) < 0) nên phương trình (fleft( x right) = 0) có ít nhất 1 nghiệm thuộc (left( {2;3} right)). Do (left( { - 1;0} right) cap left( {1;2} right) cap left( {2;3} right) = emptyset ) nên ta sẽ có 3 nghiệm phân biệt và ({x^3} - 3{x^2} + 3 = 0) là phương trình bậc ba nên sẽ có tối đa 3 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt. Chọn B.
Phương pháp giải: Sử dụng định lí: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\). Giải chi tiết: Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3\), hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = - 1\\f\left( 0 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( { - 1;0} \right)\). \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 1\\f\left( 2 \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( {1;2} \right)\). \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = - 1\\f\left( 3 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( 2 \right).f\left( 3 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left( {2;3} \right)\). Do \(\left( { - 1;0} \right) \cap \left( {1;2} \right) \cap \left( {2;3} \right) = \emptyset \) nên ta sẽ có 3 nghiệm phân biệt và \({x^3} - 3{x^2} + 3 = 0\) là phương trình bậc ba nên sẽ có tối đa 3 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt. Chọn B. |
