Có bao nhiêu cặp số nguyên xy thỏa mãn log3 x 2 y 2 x
|
\({\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} \right) + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\log _3}x + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} \right)?\) A. 89. B. 48. C. 90. D. 49. Lời giải: Chọn B Điều kiện: \(x > 0\) . Ta có: \({\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} \right) + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\log _3}x + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} \right)\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} \right) – {\log _3}x \le {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} \right) – {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} + x}}{x}} \right) \le {\log _2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} + 24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{x}} \right) \le {\log _2}\left( {1 + \frac{{24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{x} + 1} \right) – {\log _2}\left( {1 + \frac{{24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) \le 0.{\rm{ }}\) Đặt: \(t = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{x}(t > 0)\) , bất phương trình trở thành: \({\log _3}(1 + t) – {\log _2}\left( {1 + \frac{{24}}{t}} \right) \le 0\) (1). Xét hàm số \(f(t) = {\log _3}(1 + t) – {\log _2}\left( {1 + \frac{{24}}{t}} \right)\) có \(f'(t) = \frac{1}{{(1 + t)\ln 3}} + \frac{{24}}{{\left( {{t^2} + 24t} \right)\ln 2}} > 0,\forall t > 0\) . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\) . Ta có \(f(8) = {\log _3}(1 + 8) – {\log _2}\left( {1 + \frac{{24}}{8}} \right) = 0\) Từ đó suy ra: \((1) \Leftrightarrow f(t) \le f(8) \Leftrightarrow t \le 8 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{x} \le 8 \Leftrightarrow {(x – 4)^2} + {y^2} \le 16\) . Chọn B Điều kiện: x>0. Ta có: log3x2+y2+x+log2x2+y2≤log3x+log2x2+y2+24x ⇔log3x2+y2+x−log3x≤log2x2+y2+24x−log2x2+y2 ⇔log3x2+y2+xx≤log2x2+y2+24xx2+y2⇔log31+x2+y2x≤log21+24xx2+y2 ⇔log3x2+y2x+1−log21+24xx2+y2≤0. Đặt: t=x2+y2x(t>0), bất phương trình trở thành: log3(1+t)−log21+24t≤0 (1). Xét hàm số f(t)=log3(1+t)−log21+24t có f'(t)=1(1+t)ln3+24t2+24tln2>0,∀t>0. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞). Ta có f(8)=log3(1+8)−log21+248=0 Từ đó suy ra: (1)⇔f(t)≤f(8)⇔t≤8⇔x2+y2x≤8⇔(x−4)2+y2≤16. Đếm các cặp giá trị nguyên của (x;y) Ta có: (x−4)2≤16⇔0≤x≤8, mà x>0 nên 0 Với x=1,x=7⇒y={±2;±1;0} nên có 10 cặp. Với x=2,x=6⇒y={±3;±2;±1;0} nên có 14 cặp. Với x=3,x=5⇒y={±3;±2;±1;0} nên có 14 cặp. Với x=4⇒y={±4;±3;±2;±1;0} nên có 9 cặp. Với x=8⇒y=0 có 1 cặp. Vậy có 48 cặp giá trị nguyên (x;y) thỏa mãn đề bài. Chọn B Điều kiện: x>0. Ta có: log3x2+y2+x+log2x2+y2≤log3x+log2x2+y2+24x ⇔log3x2+y2+x−log3x≤log2x2+y2+24x−log2x2+y2 ⇔log3x2+y2+xx≤log2x2+y2+24xx2+y2⇔log31+x2+y2x≤log21+24xx2+y2 ⇔log3x2+y2x+1−log21+24xx2+y2≤0. Đặt: t=x2+y2x(t>0), bất phương trình trở thành: log3(1+t)−log21+24t≤0 (1). Xét hàm số f(t)=log3(1+t)−log21+24t có f'(t)=1(1+t)ln3+24t2+24tln2>0,∀t>0. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞). Ta có f(8)=log3(1+8)−log21+248=0 Từ đó suy ra: (1)⇔f(t)≤f(8)⇔t≤8⇔x2+y2x≤8⇔(x−4)2+y2≤16. Đếm các cặp giá trị nguyên của (x;y) Ta có: (x−4)2≤16⇔0≤x≤8, mà x>0 nên 0 Với x=1,x=7⇒y={±2;±1;0} nên có 10 cặp. Với x=2,x=6⇒y={±3;±2;±1;0} nên có 14 cặp. Với x=3,x=5⇒y={±3;±2;±1;0} nên có 14 cặp. Với x=4⇒y={±4;±3;±2;±1;0} nên có 9 cặp. Với x=8⇒y=0 có 1 cặp. Vậy có 48 cặp giá trị nguyên (x;y) thỏa mãn đề bài. |
