Công thức tính bán kính hình tròn tự phương trình
|
Trong chương trình học cấp bậc phổ thông lớp 10 thì đường tròn là kiến thức khá quan trọng, đặc biệt rất nhiều em gặp khó khăn khi giải phương trình đường tròn. Do đó, Góc hạnh phúc sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về lý thuyết, công thức phương trình đường tròn và đưa ra một số bài tập có lời giải chi tiết để các em hiểu rõ hơn, và có thể giải quyết mọi bài toán khác nhau. Show >>Xem thêm  Khái niệm đường trònĐường tròn hay được gọi là vòng tròn là tập hợp những điểm cùng nằm trên một mặt phẳng, và cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Trong đó điểm cho trước chính là tâm đường tròn, còn khoảng cho trước chính là bán kính đường tròn Công thức phương trình đường trònCông thức phương trình đường tròn tổng quát Cho đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R Công thức phương trình đường tròn là bình phương bán kính bằng tổng bình phương của hiệu (x – a) và (y – b) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 Trong đó tâm I toàn độ a và b và bán kính R là: Phương trình đường tròn có thể viết dưới dạng là: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 Trong đó: c = a2 + b2 – R2 Hoặc phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0 => Khi đó phương trình đường tròn trên có tâm I(a; b), và bán kính Công thức phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho một đường tròn có điểm I0 (x0; y0) cùng nằm trên đường tròn tâm O (a; b) Gọi ∆ là tiếp tuyến với đường tròn tại I0 Từ đó ta có I0 thuộc ∆ và vecto OI0 = (x0 – a; y0 – b) là vecto pháp tuyến của ∆ => Công thức phương trình tiếp tuyến đường tròn là: (x0 – a) (x – x0) + (y0 – b) (y – y0) = 0 Bài tập có lời giải về phương trình đường trònBài tập 1: Cho đường cong (Cm): x2 + y2 – 4mx – 8(m – 4)y + 18 – m = 0. Hãy tìm điều kiện của m để (Cm) là phương trình đường tròn Lời giải Để (Cm) là phương trình đường tròn ta có: m2 + [4(m – 4)]2 – ( 18 – m) > 0 <=> m2 + 16m2 – 256m + 256 – 18 + m > 0 <=> 17m2 – 255m + 238 > 0 <=> m2 – 15m + 14 > 0 <=> m < 1 ᴗ m > 2 Bài tập 2: Cho (Cα) là x2 + y2 – 2xcosα – 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kᴨ). Chứng minh rằng (Cα) là đường tròn Lời giải Để (Cα) là đường tròn ta có: cos2α + sin2α – cos2α > 0 VT = cos2α + sin2α – cos2α = 1 – cos2α = 2sin2α > 0 (với α ≠ kᴨ) Chú ý: nếu α = kᴨ thì đường tròn là 1 điểm Bài tập 3: lập phương trình đường tròn (C) biết tâm O(2; 4) và đi qua điểm I(0; 0) Lời giải Ta có R = IO , mà vecto IO = √22 + √42 = √20 => Đường tròn © có tâm O(2; 4) và bán kính R = √20 có phương trình đường tròn là: (x – 2)2 + (y – 4)2 = 20 Như vậy, trên đây là toàn bộ kiến thức về phương trình đường tròn. Hy vọng sau khi đọc bài viết này các em sẽ nắm vững lý thuyết, công thức phương trình đường tròn và có thể giải mọi bài toán nâng cao.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Tìm tâm và bán kính đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10. Nội dung bài viết Tìm tâm và bán kính đường tròn: Tìm tâm và bán kính đường tròn. Phương pháp giải: Cách 1. Đưa phương trình về dạng: (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 (1). Xét dấu biểu thức P = a2 + b2 − c. Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I (a; b) và bán kính R = √a2 + b2 − c. Nếu P ≤ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn. Cách 2. Đưa phương trình về dạng: (x − a)2 + (y − b)2 = P (2). Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I (a; b) và bán kính R = √P. Nếu P ≤ 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn. BÀI TẬP DẠNG 1. Ví dụ 1. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không? Hãy xác định tâm và bán kính của các đường tròn đó (nếu có). a) x2 + y2 + 2x − 4y + 9 = 0 (1). b) x2 + y2 − 6x + 4y + 13 = 0 (2). c) 2×2 + 2y2 − 6x − 4y − 1 = 0 (3). d) 2×2 + y2 + 2x − 3y + 9 = 0 (4). a) Phương trình (1) có dạng x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 với a = −1; b = 2; c = 9. Ta có a2 + b2 − c = 1 + 4 − 9 0, với a = m; b = 2(m − 2); c khác − m. Hay m2 + 4(m − 2)2 − 6 + m > 0 ⇔ 5m2 − 15m + 10 > 0 ⇔ m > 2, m < 1.
Quảng cáo + Đường tròn ( C) : tâm I (a; b) và bán kính R có phương trình : (x - a)2 + (y - b)2 = R2 + Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau: - Bước 1: Tìm trung điểm I của AB. - Bước 2: Tính IA. - Bước 3: Lập phương trình đường tròn ( C) tâm I và bán kính R = IA. + Đường tròn ( C) tâm I và đi qua điểm A ⇒ Đường tròn ( C): tâm I và bán kính R = IA. Ví dụ 1. Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là A. x2 + y2 + 2x - 6y - 22 = 0. B. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0. C. x2 + y2 - 2x - y + 1 = 0. D. Tất cả sai Lời giải Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I( 1; 3) . Bán kính R = Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 Hay x2 + y2 - 2x- 6y - 22 = 0. Chọn B. Quảng cáo Ví dụ 2. Cho hai điểm A( -4; 2) và B(2; -3). Tập hợp điểm M thỏa mãn có phương trình là A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1= 0. B. x2 + y2 - 6x - y + 1 = 0. C. x2 + y2 - 2x - 6y – 10 = 0. D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0. Lời giải Ta có: MA→(x + 4;y - 2); MB→(x - 2; y + 3) Theo giả thiết: MA2 + MB2 = 31 Tương đương : ( x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31 Hay x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0 Chọn D. Ví dụ 3. Đường tròn tâm I( 3; -2) và bán kính R= 2 có phương trình là A. ( x + 3)2 + (y + 2)2 = 2 B. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 4 C. ( x + 3)2 + (y - 2)2 = 4 D. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4 Lời giải Phương trình đường tròn có tâm (3; -2) , bán kính R = 2 là: (x - 3)2 + (y + 2)2 = 4 Chọn B. Ví dụ 4. Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2;1) có phương trình là A. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0. B. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0. C. x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = 0. D. x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0. Hướng dẫn giải Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M( 2; 1) thì có bán kính là: R = IM = Khi đó có phương trình là: (x + 1)2 + ( y - 2)2 = 10 Hay x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0. Chọn B. Quảng cáo Ví dụ 5. Cho hai điểm A( 5; -1) và B( -3; 7). Đường tròn có đường kính AB có phương trình là A. x2 + y2 - 2x + 6y - 3 = 0. B. x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0 C. x2 +y2 + 2x + 6y - 3 = 0 D. x2 +y2 + 2x + 6y - 15 = 0 Hướng dẫn giải Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I( 1;3) . Bán kính AB = Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 hay x2 +y2 - 2x - 6y - 22 = 0 Chọn B. Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(3; 1); B(5; 5) và tâm I nằm trên trục hoành? A.(x - 1)2 + y2 = 16 B. (x - 10)2 + y2 = 50 C. (x + 1)2 + y2 = 17 D. (x - 10)2 + y2 = 50 Lời giải + Tâm I của đường tròn nằm trên trục hoành nên I(a; 0). ⇒ Phương trình đường tròn ( C): (x - a)2 + y2 = R2. + Điểm A( 3; 1) thuộc (C) nên (3 - a)2 + 12 = R2 (1). + Điểm B( 5; 5) thuộc ( C) nên ( 5 - a)2 + 52 = R2 ( 2). Lấy (1) trừ (2); vế trừ vế ta được : 4a - 40 = 0 ⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10 Thay a = 10 vào (1) ta được: R2 = 50. Vậy phương trình đường tròn ( C): (x - 10)2 + y2 = 50 Chọn D. Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(0; 1); B(1; 0) và tâm I nằm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0? A. x2 + y2 - 2x + 2y - 1 = 0 B. x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0 C. x2 + y2 + 4x - 3 = 0 D. Tất cả sai Lời giải Giả sử phương trình đường tròn ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ( với a2 + b2 - c > 0) Là đường tròn có tâm I(a; b). + Do điểm A(0; 1) thuộc đường tròn nên: 0 + 1 - 2b + c = 0 hay – 2b + c = - 1 (1) + Do điểm B(1; 0) thuộc đường tròn nên: 1 + 0 - 2a + c = 0 hay -2a + c = -1 (2) + Do tâm I thuộc đường thẳng d: x + y + 2 = 0 nên a + b + 2 = 0 (3). Từ ( 1); (2) và (3) ta có hệ phương trình : ⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 + 2x + 2y - 3 = 0 Chọn B. Câu 1: Đường tròn tâm I ( 3; -1) và bán kính R = 2 có phương trình là A. (x + 3)2 + (y - 1)2 = 4. B. (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4. C. (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4. D. (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4.
Đáp án: C Trả lời: Phương trình đường tròn có tâm I( 3; -1) , bán kính R = 2 là: (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4 Câu 2: Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2; 1) có phương trình là A. x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0 B. x2 + y2 + 2x - 4y - 3 = 0 C. x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0 D. x2 + y2 + 2x + 4y - 5 = 0
Đáp án: A Trả lời: + Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M(2; 1) thì có bán kính là: R = IM = + Khi đó đường tròn có phương trình là: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 10 ⇔ x2 + y2 + 2x - 4y - 5 = 0 Câu 3: Đường tròn tâm I( 1; 4) và đi qua điểm B( 2; 6) có phương trình là A. (x + 1)2 + (y + 4)2 = 5 B. (x - 1)2 + (y - 4)2 = √5 C. (x + 1)2 + (y + 4)2 = √5 D. (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5
Đáp án: D Trả lời: Đường tròn có tâm I( 1; 4) và đi qua B( 2; 6) thì có bán kính là: R = IB = Khi đó đường tròn có phương trình là: (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5 Câu 4: Cho điểm M( x ; y) có A. Đường tròn tâm I (-1 ;2) và R = 3. B. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 2. C. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và R = 4. D. Đường tròn tâm I(1; -2) và R = 4.
Đáp án: B Trả lời: Ta có: M ⇒ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4cos2t + 4sin2t ⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4(sin2t + cos2t) ⇔ (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4 Vậy tập hợp điểm M là phương trình đường tròn có tâm I ( -1; 2) , bán kính R = 2. Câu 5: Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là A. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0 B. x2 + y2 - 2x - 6y + 22 = 0 C. x2 + y2 - 2x - y - 1 = 0 D. x2 + y2 + 6x + 5y + 1 = 0
Đáp án: A Trả lời: Đường tròn ( C) có đường kính AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB ⇒ Tọa độ điểm I : Bán kính R = AB = Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 32 ⇔ x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0 Câu 6: Cho hai điểm A( - 4; 2) và B( 2; -3) . Tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn :
A. x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0 B. x2 + y2 - 6x - 5y + 1 = 0 C. x2 + y2 - 2x - 6y - 22 = 0 D. x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0
Đáp án: D Trả lời: Ta có: MA2 = ( x + 4)2 + (y - 2)2 và MB2 = ( x - 2)2 + (y + 3)2 Để MA2 + MB2 = 31 ⇔ (x + 4)2 + (y - 2)2 + (x - 2)2 + (y + 3)2 = 31 ⇔ x2 + y2 + 2x + y + 1 = 0 Câu 7: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1; 2); B(2; 1) và tâm nằm trên đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0? A. x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0 B. x2 + y2 – 2x + 2y - 11 = 0 C. x2 + y2 + 2x - 2y - 11 = 0 D. x2 + y2 – 2x - 2y – 11 = 0
Đáp án: A Trả lời: + Gọi phương trình đường tròn cần tìm ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0). Đường tròn này có tâm I(a;b). + Do tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x + 4y + 7 = 0 nên 3a + 4b + 7 = 0 (1). + Do điểm A(1;2) nằm trên đường tròn nên: 1 + 4 - 2a - 4b + c = 0 hay -2a - 4b + c = - 5 (2) + Do điểm B(2;1) nằm trên đường tròn nên : 4 + 1 - 4a - 2b + c = 0 hay – 4a - 2b + c = -5 (3) Từ (1); (2) và (3) ta có hệ: ⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 + 2x + 2y - 11 = 0 Câu 8: Biết đường tròn ( C) đi qua A(1; 2); B(3; 1) và tâm I nằm trên trục tung. Tìm tâm đường tròn? A. I(0; -2) B. I( 0; 1) C. I(0;
Đáp án: C Trả lời: + Do tâm I đường tròn nằm trên trục tung nên I(0; a). ⇒ Phương trình đường tròn có dạng: x2 + (y - a)2 = R2 + Điểm A( 1; 2) thuộc đường tròn ( C) nên : 12 + (2 - a)2 = R2 hay a2 - 4a - R2 = - 5 (1) + Điểm B(3; 1) thuộc đường tròn (C) nên : 32 + (1 - a)2 = R2 hay a2 – 2a – R2 = - 10 (2) + Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được: - 2a = 5 ⇔ a = ⇒ Tâm đường tròn là I(0; ) Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác: Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp |
