Công thức tính độ dài trong không gian Oxyz
Độ dài đoạn thẳng là gì? Công thức tính độ dài đoạn thẳng là gì? Cùng Góc Hạnh Phúc tìm hiểu chi tiết qua bài viết dưới đây nhé. Show
>>Xem thêm:
Độ dài của một đoạn thẳng là gì?Độ dài của 1 đoạn thẳng là độ dài lớn hơn 0, mà chúng ta đo được trên thước hoặc bằng 1 vận dụng nào đó để vẽ ra 1 độ dài của vật. Trong đó 2 tia đối nhau là 2 tia chung gốc và nằm khác phía nhau trên một đường thẳng, 2 tia trùng nhau là 2 tia chung gốc và cùng đi qua 1 điểm. Công thức tính độ dài đoạn thằngCông thức tính độ dài đoạn thằng bằng căn bậc hai của hiệu bình phương hoành độ cộng hiệu bình phương tung độ Trong đó: d là độ dài đoạn thẳng (x1, y1) là tọa độ điểm đầu của đoạn thẳng (x2, y2) là tọa độ điểm thứ 2 của đoạn thẳng Bài tập có lời giải về cách tính độ dài đoạn thẳngBài tập 1: Trong một mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(4, 6); B(5; -5) Tính độ dài đoạn thẳng AB? Lời giải Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng ta có: Bài tập 2: Trong không gian Oxyz , cho điểm M(3, 4, 5) và điểm N(4, 3, 2). Tính khoảng cách giữa hai điểm M và N Lời giải Khoảng cách giữa hai điểm M và N là: Bài tập 3: Cho đoạn thẳng y = 2x + 3 cắt parabol y = x2 tại 2 điểm MN. Tính độ dài đoạn thẳng MN Lời giải Giao điểm của đường thẳng và parabol đã cho là x2 = 2x + 3 => Phương trình này có 2 nghiệm x = 1; x = 3 => 2 giá trị x vừa tìm được tương ứng với đoạn thẳng y = 1; y = 9 => 2 giao điểm là M(-1; 1) và N(3; 9) => Độ dài đoạn thằng MN là: Như vậy công thức tính độ dài đoạn thẳng quá đơn giản đúng không nào. Nhưng để nhớ công thức lâu và có thể giải được nhiều dạng toán khác nhau thì các bạn nên làm nhiều bài tập nhé. Nếu như còn vấn đề gì chưa hiểu hãy để lại bình luận bên dưới nhé.
Tổng hợp toàn bộ các công thức tọa độ trong không gian oxyz bao gồm các vấn đề tích vô hương, tích có hướng và ứng dụng của tích có hướng. Chủ đề về mặt phẳng là cách viết phương trình mặt phẳng, khoảng cách từ điẻm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. Chủ đề về mặt cầu là viết phương trình mặt cầu, mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Chủ đề đường thằng với các dạng pt đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, các chuyên đề về góc giữa hai đường thẳng, khoảng cachs giữa haid đường thẳng chéo nhau.
PHẦN 7. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 1.1. Các khái niệm và tính chất1.1.1. Khái niệm mở đầu Trong không gian cho ba trục $Ox,Oy,Oz$ phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ $O,$ truc hoành $Ox,$ trục tung $Oy,$ trục cao $Oz,$ các mặt tọa độ $\left( Oxy \right),\left( Oyz \right),\left( Ozx \right).$ 1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ $Oxyz$ hay không gian $Oxyz.$ Chú ý: 1.1.3. Tọa độ véc tơ 1.1.4. Tọa độ điểm 1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ Cho
1.1.6. Chú ý 1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng M chia AB theo tỉ số k nghĩa là Công thức tọa độ của M là : 1.1.8. Công thức trung điểm 1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác 1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện 1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ 1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ
1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ 1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm Phương pháp giải
1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích Phương pháp giải
Ta có: $\overrightarrow{EB}=\frac{-AB}{AC}.\overrightarrow{EC};\ \ \ \ \overrightarrow{FB}=\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{FC}$
$\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}\ne 0$ 2. MẶT PHẲNG2.1.5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
2.1.6. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng 2.1.7. Chùm mặt phẳng
2.2. Viết phương trình mặt phẳngĐể lập phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ ta cần xác định một điểm thuộc $\left( \alpha \right)$ và một VTPT của nó. 2.2.1. Dạng 1 $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ có VTPT $\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$ thì: $\left( \alpha \right):\ A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0$ 2.2.2. Dạng 2 $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ có cặp VTCP $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ thì $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]$ là một VTPT của $\left( \alpha \right)$ 2.2.3. Dạng 3 $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và song song với $\left( \beta \right):Ax+By+Cz=0$ thì $\left( \alpha \right):\ A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0$$$ 2.2.4. Dạng 4 $\left( \alpha \right)$ đi qua 3 điểm không thẳng hàng $A,\ B,\ C$. Khi đó ta có thể xác định một VTPT của $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]$ 2.2.5. Dạng 5 $\left( \alpha \right)$ đi qua một điểm $M$ và một đường thẳng $\left( d \right)$ không chứa $M$:
2.2.6. Dạng 6 $\left( \alpha \right)$ đi qua một điểm $M$, vuông góc với đường thẳng $\left( d \right)$ thì VTCP $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng $\left( d \right)$ là một VTPT của $\left( \alpha \right)$. 2.2.7. Dạng 7 $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng cắt nhau ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}$
2.2.8. Dạng 8 $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng ${{d}_{1}}$ và song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ (${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ chéo nhau:
2.2.9. Dạng 9 $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ và song song với hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$:
2.2.10. Dạng 10 $\left( \alpha \right)$ chứa một đường thẳng $d$ và vuông góc với một mặt phẳng $\left( \beta \right)$
2.2.11. Dạng 11 $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau $\left( \beta \right),\ \left( \gamma \right):$
2.2.12. Dạng 12 $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ cho trước và cách điểm $M$ cho trước một khoảng $k$ cho trước:
2.2.13. Dạng 13 $\left( \alpha \right)$ là tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại điểm $H.$
2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳngCho hai mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$ và $\left( P' \right):\ A'x+B'y+C'z+D'=0$ Khi đó:
2.4. Khoảng cách và hình chiếu2.4.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right):\ Ax+By+Cz+D=0$ là $d\left( {{M}_{0}},\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$ 2.4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 2.4.3. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng Điểm $H$ là hình chiếu của điểm $M$ trên $\left( P \right)\Leftrightarrow \ \overrightarrow{MH},\ \overrightarrow{n}$ cùng phương $\left( H\in \left( P \right) \right)$ 2.4.4. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng Điểm $M'$ đối xứng với điểm $M$ qua $\left( P \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'}=2\overrightarrow{MH}$ 2.5. Góc giữa hai mặt phẳngCho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\ \left( \beta \right)$ có phương trình: $\left( \alpha \right):\ {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0$ $\ \ \ \left( \beta \right):\ {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0$ Góc giữa $\left( \alpha \right),\ \left( \beta \right)$ bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT $\overrightarrow{{{n}_{1}}},\ \overrightarrow{{{n}_{2}}}$. $\cos \left( \left( \alpha \right),\left( \beta \right) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\frac{\left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}} \right|}{\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{B}_{1}}^{2}+{{C}_{1}}^{2}}+\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}$ Chú ý: ${{0}^{0}}\le \left( \widehat{\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right)\le {{90}^{0}}$ ; $\left( \alpha \right)\bot \left( \beta \right)\Leftrightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}=0$ 2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầuCho mặt phẳng $\left( \alpha \right):\ Ax+By+Cz+D=0$ và mặt cầu $\left( S \right):\ {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ có tâm $I$
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
Để xác định tâm $H$ và bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
3. ĐƯỜNG THẲNG3.1. Phương trình của đường thẳng3.1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 3.1.1.1. Ðịnh nghĩa 3.1.1.2. Chú ý 3.1.2. Phương trình tham số của đường thẳng 3.1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng 3.2. Vị trí tương đối3.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 3.2.1.1. Phương pháp hình học Định lý Khi đó : $\left( \Delta \right) \cap \left( \alpha \right) \Leftrightarrow \vec a.\vec n \ne 0 \Leftrightarrow A{a_1} + B{a_2} + C{a_3} \ne 0$ $\left( \Delta \right)//\left( \alpha \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \vec a.\vec n = 0\\ {M_0} \notin \left( P \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A{a_1} + B{a_2} + C{a_3} = 0\\ A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} \ne 0 \end{array} \right.$ $\left( \Delta \right) \subset \left( \alpha \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \vec a.\vec n = 0\\ {M_0} \in \left( P \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A{a_1} + B{a_2} + C{a_3} = 0\\ A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} = 0 \end{array} \right.$ Đặc biệt 3.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 3.2.2.1. Phương pháp hình học Cho hai đường thẳng: ${{\Delta }_{1}}$ đi qua $M$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ ${{\Delta }_{2}}$ đi qua $N$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$
${\Delta _1} / / {\Delta _2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\ \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {MN} } \right] \ne 0 \end{array} \right.$ ${\Delta _1} \cap {\Delta _2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\ \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MN} = 0 \end{array} \right.$
3.2.2.2. Phương pháp đại số 3.2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu 3.2.3.1. Phương pháp hình học 3.2.2.2. Phương pháp đại số Thế ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) vào phương trình ( S ) và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo t ( * )
Chú ý: Ðể tìm tọa độ M, N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d 3.3. Góc trong không gian3.3.1. Góc giữa hai mặt phẳng
3.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
3.3.3. Góc giữa hai đường thẳng 3.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
3.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
3.4.3. Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau
3.5. Lập phương trình đường thẳngĐể lập phương trình đường thẳng $d$ ta cần xác định 1 điểm thuộc $d$ và một VTCP của nó. 3.5.1. Dạng 1 $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} \right)$ là.$\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + {a_1}t\\ y = {y_0} + {a_2}t\\ z = {z_0} + {a_3}t \end{array} \right.\;\;\;\left( {t \in } \right)$ 3.5.2. Dạng 2 $d$ đi qua hai điểm $A,\ B:$ Một VTCP của $d$ là $\overrightarrow{AB}$. 3.5.3. Dạng 3 $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và song song với đường thẳng $\Delta $ cho trước: Vì $d//\Delta $ nên VTCP của $\Delta $ cũng là VTCP của $d$. 3.5.4. Dạng 4 $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước: Vì $d\bot \left( P \right)$ nên VTPT của $\left( P \right)$ cũng là VTCP của $d$. 3.5.5. Dạng 5 $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$: Tìm một điểm và một VTCP.
Tìm hai điểm $A,\ B$ thuộc $d$, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 3.5.6. Dạng 6 $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và vuông góc với hai đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}:$ Vì $d\bot {{d}_{1}},\ d\bot {{d}_{2}}$ nên một VTCP của $d$ là: $\overrightarrow{a}=\left[ \overrightarrow{{{a}_{1}}},\overrightarrow{{{a}_{2}}} \right]$ 3.5.7. Dạng 7 $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$, vuông góc và cắt đường thẳng $\Delta $. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của ${{M}_{0}}$ trên đường thẳng $\Delta $. Thì $\left\{ \begin{array}{l} H \in \Delta \\ \overrightarrow {{M_0}H} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \end{array} \right.$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$$,\ \left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$. Khi đó $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$ 3.5.8. Dạng 8 $d$đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}:$ Gọi ${{M}_{1}}\in {{d}_{1}},\ {{M}_{2}}\in {{d}_{2}}.$ Từ điều kiện $M,\ {{M}_{1}},\ {{M}_{2}}$ thẳng hàng ta tìm được ${{M}_{1}},\ {{M}_{2}}$. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng $d$. Gọi $\left( P \right)=\left( {{M}_{0}},{{d}_{1}} \right),\ \left( Q \right)=\left( {{M}_{0}},{{d}_{2}} \right).$ Khi đó $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right).$ Do đó, một VTCP của $d$ có thể chọn là $\overrightarrow{a}\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$. 3.5.9. Dạng 9 $d$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}:$ Tìm các giao điểm $A={{d}_{1}}\cap \left( P \right),\ B={{d}_{2}}\cap \left( P \right).$ Khi đó 3.5.10. Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $\Delta $ và ${{d}_{1}},$ mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $\Delta $ và ${{d}_{2}}$. Khi đó $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$. 3.5.11. Dạng 11 $d$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}$ chéo nhau: Gọi ${{M}_{1}}\in {{d}_{1}},\ {{M}_{2}}\in {{d}_{2}}.$ Từ điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} MN \bot {d_1}\\ MN \bot {d_2} \end{array} \right.,$
3.5.12. Dạng 12 $d$ là hình chiếu của đường thẳng $\Delta $ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ thì ta Lập phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $\Delta $ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng cách:
3.5.13. Dạng 13 $d$ đi qua điểm $M$, vuông góc với ${{d}_{1}}$ và cắt ${{d}_{2}}:$ Gọi $N$ là giao điểm của$d$ và ${{d}_{2}}.$ Từ điều kiện $MN\bot {{d}_{1}}$, ta tìm được $N.$ Khi đó, $d$ là đường thẳng $MN$.
3.6. Vị trí tương đối3.6.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng. Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. 3.6.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng. Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng. 3.6.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính. Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu. 3.7. Khoảng cách3.7.1. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$ Cho đường thẳng $d$ đi qua ${{M}_{0}}$ và có VTCP $\overrightarrow{a}$ thì $d\left( M,\ d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{M}_{0}}M},\ \overrightarrow{a} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|}$
3.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}.$ Biết ${{d}_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}$ và có VTCP ${{\overrightarrow{a}}_{1}},\ {{d}_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có VTCP $\overrightarrow{{{a}_{2}}}$ thì $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\frac{\left| \left[ {{\overrightarrow{a}}_{1}},{{\overrightarrow{a}}_{2}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ {{\overrightarrow{a}}_{1}},{{\overrightarrow{a}}_{2}} \right] \right|}$ Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}$ bằng khoảng cách giữa ${{d}_{1}}$ với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa ${{d}_{2}}$ và song song với ${{d}_{1}}.$ 3.7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. 3.7.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng 3.8. Góc3.8.1. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}$ lần lượt có các VTCP ${{\overrightarrow{a}}_{1}},\ {{\overrightarrow{a}}_{2}}$. Góc giữa ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}$ bằng hoặc bù với góc giữa ${{\overrightarrow{a}}_{1}},\ {{\overrightarrow{a}}_{2}}$ là: $\cos \left( {{\overrightarrow{a}}_{1}},{{\overrightarrow{a}}_{2}} \right)=\frac{\left| {{\overrightarrow{a}}_{1}}.{{\overrightarrow{a}}_{2}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{a}}_{1}} \right|.\left| {{\overrightarrow{a}}_{2}} \right|}$ 3.8.2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có VTPT $\overrightarrow{n}=\left( A,B,C \right)$. Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $d$ với hình chiếu $d$’ của nó trên $\left( \alpha \right)$ là: $\sin \left( \widehat{d,\left( \alpha \right)} \right)=\frac{\left| A{{a}_{1}}+B{{a}_{2}}+C{{a}_{3}} \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{2}}}$ 4. MẶT CẦU4.1. Phương trình mặt cầu4.1.1. Phương trình chính tắc 4.1.2. Phương trình tổng quát 4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng4.3. Một số bài toán liên quan 4.3.1. Dạng 1 $\left( S \right)$ có tâm $I\left( a,b,c \right)$ và bán kính $R$ thì $\left( S \right)={{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ 4.3.2. Dạng 2 $\left( S \right)$ có tâm $I\left( a,b,c \right)$ và đi qua điểm $A$ thì bán kính $R=IA$. 4.3.3. Dạng 3 $\left( S \right)$ nhận đoạn thẳng $AB$ cho trước làm đường kính:
$AB:\ {{x}_{1}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\ {{y}_{1}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2};\ {{z}_{1}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2}$
4.3.4. Dạng 4 $\left( S \right)$ đi qua bốn điểm $A,B,C,D$ (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\ \left( * \right)$
4.3.5. Dạng 5 $\left( S \right)$ đi qua ba điểm $A,\ B,\ C$ và có tâm $I$ nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước thì giải tương tự dạng 4 4.3.6. Dạng 6 $\left( S \right)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( T \right)$ cho trước:
Chú ý: 4.3.7. Dạng 7 Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I(a,b,c) , tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) cho trước thì bán kính mặt cầu R = d(I;( P )) 4.3.8. Dạng 8 Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I (a,b,c) , cắt mặt phẳng ( P ) cho trước theo giao tuyến là một đường tròn thoả điều kiện .
4.3.9. Dạng 9 Viết phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với một đường thẳng $\Delta $ cho trước và có tâm I (a,b,c) cho trước thì đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc với mặt cầu ( S ) ta có R=d(I;$\Delta $) . 4.3.10. Dạng 10 4.3.10. Dạng 10 4.3.11. Dạng 11 Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm $M$ thoả tính chất $\left( P \right)$ nào đó.
${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ hoặc: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0$
4.3.12. Dạng 12 Tìm tập hợp tâm mặt cầu
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN5.1. Dạng 1Cho $\left( P \right)$ và hai điểm $A,B.$ Tìm $M\in \left( P \right)$ để ${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}$ ? Phương pháp
5.2. Dạng 2Cho $\left( P \right)$ và hai điểm $A,B.$ Tìm $M\in \left( P \right)$ để ${{\left| MA-MB \right|}_{\max }}$ ? Phương pháp
$\Rightarrow \left| MA-MB' \right|=AB'$ 5.3. Dạng 3Cho điểm $M\left( {{x}_{M}},{{y}_{M}},{{z}_{M}} \right)$ không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình $\left( P \right)$ qua $M$ và cắt 3 tia $Ox,\ Oy,\ Oz$ lần lượt tại $A,\ B,\ C$ sao cho ${{V}_{O.ABC}}$ nhỏ nhất? Phương pháp $\left( P \right):\frac{x}{3{{x}_{M}}}+\frac{y}{3{{y}_{M}}}+\frac{z}{3{{z}_{M}}}=1$ 5.4. Dạng 4Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$ , sao cho khoảng cách từ điểm $M\not{\in }d$ đến $\left( P \right)$ là lớn nhất? Phương pháp $\left( P \right):\left\{ \begin{array}{l} Qua\;A \in d\\ {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left[ {\left[ {{{\overrightarrow u }_d},\overrightarrow {AM} } \right],{{\overrightarrow u }_d}} \right] \end{array} \right.$ 5.5. Dạng 5Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua$A$ và cách $M$ một khảng lớn nhất ? Phương pháp $\left( P \right):\left\{ \begin{array}{l} Qua\;A\\ {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \overrightarrow {AM} \end{array} \right.$ 5.6. Dạng 6Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$, sao cho $\left( P \right)$ tạo với $\Delta $ ($\Delta $ không song song với $d$) một góc lớn nhất là lớn nhất ? Phương pháp $\left( P \right):\left\{ \begin{array}{l} Qua\;A \in d\\ {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left[ {\left[ {{{\overrightarrow u }_d},\overrightarrow {AM} } \right],{{\overrightarrow u }_d}} \right] \end{array} \right.$ 5.7. Dạng 7Cho $\Delta //\left( P \right)$. Viết phương trình đường thẳng $d$ nằm trong $\left( P \right)$ song song với $\Delta $ và cách $\Delta $ một khoảng nhỏ nhất ? Phương pháp Lấy $A\in \Delta $ , gọi $A'$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\left( P \right)$ thì $d:\left\{ \begin{array}{l} Qua\;A'\\ {\overrightarrow u _d} = {\overrightarrow u _\Delta } \end{array} \right.$ 5.8. Dạng 8Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ cho trước và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$cho trước sao cho khoảng cách từ điểm $M$ cho trước đến $d$ là lớn nhất ($AM$ không vuông góc với $\left( P \right)$ ? Phương pháp $d:\left\{ \begin{array}{l} Qua\;A \in d\\ {\overrightarrow u _d} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\overrightarrow {AM} } \right] \end{array} \right.$ 5.9. Dạng 9Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ cho trước và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước sao cho khoảng cách từ điểm $M$ cho trước đến $d$ là nhỏ nhất ($AM$ không vuông góc với $\left( P \right)$ ? Phương pháp $d:\;\left\{ \begin{array}{l} Qua\;A \in d\\ {\overrightarrow u _d} = \left[ {\left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\overrightarrow {AM} } \right],{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right] \end{array} \right.$ 5.10. Dạng 10Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\in \left( P \right)$ cho trước, sao cho $d$ nằm trong $\left( P \right)$và tạo với đường thẳng $\Delta $ một góc nhỏ nhất ($\Delta $ cắt nhưng không vuông góc với $\left( P \right)$)? Phương pháp $d:\;\left\{ \begin{array}{l} Qua\;A \in d\\ {\overrightarrow u _d} = \left[ {\left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\overrightarrow {AM} } \right],{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right] \end{array} \right.$ |