Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau F0 0 F1 = 1 f2 1 Fn f(n 1 f(n 2 với n 2 ví dụ 0 1 1 2 3))
|
Show
Bài toán tìm số fibonaci thứ n có nhiều cách giải, có thể dùng đệ quy, dùng mảng lưu trữ… Ở đây tôi dùng phương pháp thủ công nhưng đơn giản, chỉ với một vòng lặp for. Đây chỉ là code tham khảo, các bạn nên viết lại bằng các cách khác. package baitap9; import java.util.Scanner; public class Baitap9 { /** * @param args the command line arguments */ public static void main(String[] args) { // TODO code application logic here int n,sothuN=1; int f0=1; int f1=1; Scanner input = new Scanner(System.in); n = input.nextInt(); if (n>1) { for (int i = 2; i <=n; i++) { sothuN=f0+f1; f0=f1; f1=sothuN; } } System.out.println("so thu "+n +" la " + sothuN); } }Bài 1(Cách 1): Viết chương trình nhập từ bàn phím một số n. Xuất dãy số Fibonacci trong khoảng n. Biết dãy số Fibo được xác dịnh như sau : U0 = U1 = 1 Un+2 = Un+1 + Un (n > 0) Ví dụ: n = 8 -> 1 1 2 3 5 8 13 21. Program Day_Fibo; uses crt; var i,n,f1,f2,f3:longint; procedure fibo(k:longint); begin f1:=1; f2:=1; for i:=1 to k do begin f3:=f1+f2; write(f1:3,' '); f1:=f2; f2:=f3; end; end; begin clrscr; write('Nhap n: ');readln(n); fibo(n); readln; end. Bài 1 (Cách 2): Nhập vào một số N. Xuất ra tất cả các số fibonanci trong khoảng N. VD: N = 5 -> 1 1 2 3 5 Program Bai9; uses crt; var a,b,c,d,i,n:integer; begin clrscr; write('Nhap vao n = ');readln(n); a:=1; b:=1; c:=a+b; write(n,' so Fibonaci dau tien la: '); write(1:4,1:4); for i:=3 to n do begin write(c:4); a:=b; b:=c; c:=a+b; end; writeln; writeln('Da xu ly xong'); readln; end. writeln('da xu ly xong'); readln; end. Bài 2: Nhập vào một số N. Xuất ra số Fibonanci thứ N VD: N = 10 -> Số Fibonanci thứ 10 là: 55 program xuat_so_fibonanci; uses crt; var i,n,s,a,b:integer; begin clrscr; write('nhap vao n:=');readln(n); b:=1; i:=2; a:=1; while (i begin i:=i+1; if i mod 2=1
then a:=a+b else b:=b+a; end; if i mod 2=1 then
write('So Fibonanci thu ',n,' la: ',a) else writeln('So
Fibonanci thu ',n,' la: ',b); readln; end. Bài 3: Nhập vào một số phân tích thành tổng các số là số fibonanci. VD: N = 10 -> 10
= 8 +2 program tfbnc; var i,j,n:integer; f:array[1..1000]
of longint; function fib(k:integer):longint; begin f[1]:=1; f[2]:=1; f[3]:=2; if f[k]=-1 then
f[k]:=fib(k-1)+fib(k-2); fib:=f[k]; end; begin write('nhap n:
');readln(n); write(n,'='); for i:=1 to 1000 do f[i]:=-1; while n>0 do begin i:=1; while fib(i)<=n
do i:=i+1; j:=fib(i-1); if i<=n then
write(j,' + ') else write (j); n:=n-j; end; writeln(); writeln('da xu ly
xong'); readln; end. Bài 4: Nhập vào một số N. kiểm tra xem có mấy cách phân tích thành tổng
các số fibonanci. VD: N = 10 -> Có
3 cách phân tích. program bai10; var f:array[1..20] of integer; dd:array[1..20] of
boolean; n,i,luu:integer; procedure
tim(i:integer); var j:integer; begin if n=0 then begin writeln(i-1); readln; halt; end else begin for j:=1 to luu do if (not dd[j])
and (n>=f[j]) then begin dd[j]:=true; n:=n-f[j]; tim(i+1); dd[j]:=false; n:=n+f[j]; end; end; end; {Chuong trinh chinh} begin write('nhap vao n: ');readln(n); f[1]:=1; f[2]:=1; i:=2; while (f[i] begin i:=i+1;
f[i]:=f[i-1]+f[i-2]; end; luu:=i; tim(0); end. Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là: F ( n ) := { 1 , khi n = 1 ; 1 , khi n = 2 ; F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) khi n > 2. {\displaystyle F(n):=\left\{{\begin{matrix}1\,,\qquad \qquad \qquad \quad \,\ \ \,&&{\mbox{khi }}n=1\,;\ \ \\1,\qquad \qquad \qquad \qquad \,&&{\mbox{khi }}n=2;\ \ \,\\F(n-1)+F(n-2)&&{\mbox{khi }}n>2.\end{matrix}}\right.} Lịch sửDãy số Fibonacci được Fibonacci, một nhà toán học người Ý, công bố vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci - Sách về toán đồ qua 2 bài toán: Bài toán con thỏ và bài toán số các "cụ tổ" của một ong đực. Henry Dudeney (1857 - 1930) (là một nhà văn và nhà toán học người Anh) nghiên cứu ở bò sữa, cũng đạt kết quả tương tự. Thế kỉ XIX, nhà toán học Edouard Lucas xuất bản một bộ sách bốn tập với chủ đề toán học giải trí, ông đã dùng tên Fibonacci để gọi dãy số kết quả của bài toán từ cuốn Liber Abaci – bài toán đã sinh ra dãy Fibonacci. Những bài toán mở đầu2 bài toán sau đây được trích từ sách Liber Abacci do Fibonacci viết vào năm 1202. Đây là những bài toán mẫu mực dẫn đến khảo sát dãy số Fibonacci. Bài toán số con thỏMột đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) không sinh cho đến khi chúng đủ 2 tháng tuổi. Sau khi đủ 2 tháng tuổi, mỗi đôi thỏ sinh một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) mỗi tháng. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh Trong hình vẽ trên, ta quy ước:
Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:
Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f(n) là số đôi thỏ có ở tháng thứ n, ta có:
Do đó với n > 2 ta được: f(n) = f(n-1) + f(n-2). Điều đó có thể được giải thích như sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng n -1 không thể sinh con ở tháng thứ n, và ở tháng này đôi thỏ tháng thứ n - 2 sinh ra một đôi thỏ con nên số đôi thỏ được sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f(n - 2). Số các "cụ tổ" của một con ong đựcFibonacci đã mô tả dãy các tổ tiên của một con ong đực như sau: (Loài ong có thể thụ tinh đơn tính hoặc lưỡng tính). Giả sử rằng:
Ta bắt đầu tính số các con ong tổ tiên của một con ong đực. Xét một con ong đực ở thế hệ thứ n. Nhìn vào hình trên ta thấy:
Tiếp tục quá trình này ta sẽ có một dãy số Fibonacci. Kết luậnNhư vậy, công việc giải quyết hai bài toán trên của Fibonacci dẫn tới việc khảo sát dãy số f(n) xác định:
Đó là dãy Fibonacci và các số hạng trong dãy được gọi là các số Fibonacci. Các phần tử đầu tiên của dãy
Người ta chứng minh được rằng công thức tổng quát cho dãy Fibonacci là: F n = 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[{\Big (}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{n}-{\Big (}{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{n}\right]}Quan hệ với tỷ lệ vàngTỷ lệ vàng
φ
{\displaystyle \varphi }
chính là số
φ
=
(
1
+
5
)
2
≈
1.618
033
989
{\displaystyle \varphi ={\frac {(1+{\sqrt {5}})}{2}}\approx 1.618\,033\,989}
Công thức dạng tường minhCũng như mọi dãy số xác định bởi công thức đệ quy tuyến tính, các số Fibonacci có thể tìm được công thức dạng tường minh. Ta sẽ chứng minh (công thức Binet): F ( n ) = φ n − ( 1 − φ ) n 5 {\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}}Như vậy, từ hệ thức truy hồi Fibonacci ta có: F ( n + 2 ) − F ( n + 1 ) − F ( n ) = 0. {\displaystyle F(n+2)-F(n+1)-F(n)=0.\,}sẽ dẫn tới phương trình xác định tỷ lệ vàng x 2 − x − 1 = 0 , {\displaystyle x^{2}-x-1=0,\,}(là phương trình đa thức đặc trưng của hồi quy). Chứng minh Chứng minh (bằng quy nạp): Một nghiệm bất kỳ của phương trình trên thoả mãn tính chất
x
2
=
x
+
1
,
{\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}=x+1,\end{matrix}}\,}
Chú ý rằng, theo định nghĩa
φ
{\displaystyle \varphi }
là một nghiệm của phương trình và nghiệm kia là
1
−
φ
{\displaystyle 1-\varphi }
Bây giờ định nghĩa hàm: F a , b ( n ) = a φ n + b ( 1 − φ ) n {\displaystyle F_{a,b}(n)=a\varphi ^{n}+b(1-\varphi )^{n}}Tất cả các hàm này thỏa mãn hệ thức truy hồi Fibonacci, thật vậy:
Bây giờ chọn
a
=
1
/
5
{\displaystyle a=1/{\sqrt {5}}}
và F a , b ( 1 ) = φ 5 − ( 1 − φ ) 5 = − 1 + 2 φ 5 = − 1 + ( 1 + 5 ) 5 = 1 , {\displaystyle F_{a,b}(1)={\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}-{\frac {(1-\varphi )}{\sqrt {5}}}={\frac {-1+2\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {-1+(1+{\sqrt {5}})}{\sqrt {5}}}=1,}những chứng minh ở trên chứng tỏ rằng F ( n ) = φ n − ( 1 − φ ) n 5 {\displaystyle F(n)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}}Chú ý rằng, với hai giá trị khởi đầu bất kỳ của
a
,
b
{\displaystyle a,b}
Giới hạn của thương kế tiếpJohannes Kepler, đã chứng minh sự hội tụ sau: F ( n + 1 ) F ( n ) {\displaystyle {\frac {F(n+1)}{F(n)}}\,}Thực ra kết quả này đúng với mọi cặp giá trị khởi đầu, trừ (0, 0). Từ công thức tường minh, ta có, với mọi
a
≠
0
,
b
≠
0
{\displaystyle a\neq 0,b\neq 0}
vì thế, như dễ dàng thấy,
|
1
−
φ
φ
|
<
1
{\displaystyle \left|{\frac {1-\varphi }{\varphi }}\right|<1}
Chứng minh Phương pháp tính sốViệc giải một hệ thức truy hồi tổng quát dựa trên việc giải phương trình đặc trưng của nó. Lấy ví dụ như, cho hệ thức truy hồi dạng an = c1an-1+ c2an-2 +... +ckan-k (1) Khi đó nghiệm của hệ là r sẽ có dạng: rn = c1rn-1 + c2rn-2 +c3rn-3 +...+ckrn-k Giải phương trình trên ta được các nghiệm phân biệt r1,r2,....,rn-1.Đồng thời ta có an=b1r1n +b2r2n +...+bn-1rn-1n (2) Do vậy giải hệ phương trình (2) với a1,a2,.., an cho trước ta sẽ nhận được các giá trị b1,b2,...,bn-1, thay trở lại ta sẽ có phương trình tổng quát dành cho hệ thức truy hồi (1) Biểu diễn ma trậnTừ hệ thức truy hồi ta có phương trình liên hệ lặp tuyến tính 2 chiều mô tả dãy Fibonacci là ( F k + 2 F k + 1 ) = ( 1 1 1 0 ) ( F k + 1 F k ) {\displaystyle {F_{k+2} \choose F_{k+1}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{F_{k+1} \choose F_{k}}}có thể ký hiệu lại dưới dạng F → k + 1 = A F → k , {\displaystyle {\vec {F}}_{k+1}=\mathbf {A} {\vec {F}}_{k},}từ điều này suy ra:
F
→
n
=
A
n
F
→
0
{\displaystyle {\vec {F}}_{n}=\mathbf {A} ^{n}{\vec {F}}_{0}}
và ν → = ( − φ − 1 1 ) . {\displaystyle {\vec {\nu }}={-\varphi ^{-1} \choose 1}.}Ta có vectơ của giá trị ban đầu có dạng F → 0 = ( 1 0 ) = 1 5 μ → − 1 5 ν → , {\displaystyle {\vec {F}}_{0}={1 \choose 0}={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\nu }},}suy ra biểu thức số hạng thứ n là F → n = 1 5 A n μ → − 1 5 A n ν → = 1 5 φ n μ → − 1 5 ( − φ ) − n ν → = 1 5 ( 1 + 5 2 ) n ( φ 1 ) − 1 5 ( 1 − 5 2 ) n ( − φ − 1 1 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {F}}_{n}&={\frac {1}{\sqrt {5}}}A^{n}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}A^{n}{\vec {\nu }}\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\varphi ^{n}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}(-\varphi )^{-n}{\vec {\nu }}~\\&={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}{\varphi \choose 1}-{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}{-\varphi ^{-1} \choose 1},\end{aligned}}}Từ đây ta có thể trực tiếp rút ra biểu thức dạng đóng cho số hạng thứ n trong dãy Fibonacci: F n = 1 5 ( 1 + 5 2 ) n − 1 5 ( 1 − 5 2 ) n . {\displaystyle F_{n}={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}.}Một cách tuơng đương, ta có thể tính toán ma trận lũy thừa bằng cách chéo hóa ma trận A sử dụng phân tích riêng của nó, với
Λ
{\displaystyle \Lambda }
trong đó
Λ
=
(
φ
0
0
−
φ
−
1
)
{\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\varphi &0\\0&-\varphi ^{-1}\end{pmatrix}}}
Vì vậy biểu thức dạng đóng cho số hạng thứ n của dãy Fibonacci được cho bởi phương trình: ( F n + 1 F n ) = A n ( F 1 F 0 ) = S Λ n S − 1 ( F 1 F 0 ) = S ( φ n 0 0 ( − φ ) − n ) S − 1 ( F 1 F 0 ) = ( φ − φ − 1 1 1 ) ( φ n 0 0 ( − φ ) − n ) 1 5 ( 1 φ − 1 − 1 φ ) ( 1 0 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{F_{n+1} \choose F_{n}}&=A^{n}{F_{1} \choose F_{0}}\\&=S\Lambda ^{n}S^{-1}{F_{1} \choose F_{0}}\\&=S{\begin{pmatrix}\varphi ^{n}&0\\0&(-\varphi )^{-n}\end{pmatrix}}S^{-1}{F_{1} \choose F_{0}}\\&={\begin{pmatrix}\varphi &-\varphi ^{-1}\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi ^{n}&0\\0&(-\varphi )^{-n}\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}1&\varphi ^{-1}\\-1&\varphi \end{pmatrix}}{1 \choose 0},\end{aligned}}}thực hiện nhân ma trận, tiếp tục ta suy ra được công thức Binet F n = φ n − ( − φ ) − n 5 . {\displaystyle F_{n}={\cfrac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.}Ma trận A có định thức là −1, và vì thế nó là một ma trận 2×2 đơn môđun (unimodular). Một ma trận đơn môđun là ma trận vuông có định thức là 1 hoặc −1. Tính chất này có thể được hiểu theo cách biểu diễn liên phân số cho tỉ lệ vàng: φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ . {\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}.}Các số Fibonacci chính là tỉ số giữa hai giản phân liên tiếp của liên phân số cho φ, mà ma trận được tạo ra từ các giản phân liên tiếp của một phân số liên tục bất kỳ thì có định thức là +1 hoặc −1, vậy nó là ma trận đơn môđun. Ta có biểu diễn ma trận đưa ra biểu thức dạng đóng sau đây cho các số Fibonacci: ( 1 1 1 0 ) n = ( F n + 1 F n F n F n − 1 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}Lấy định thức cho hai vế của phuơng trình này, ta có được đẳng thức Cassini: ( − 1 ) n = F n + 1 F n − 1 − F n 2 . {\textstyle (-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.}Hơn nữa, vì An Am = An+m cho bất kỳ ma trận vuông A, có thể suy ra các đẳng thức bên dưới (chúng được rút ra từ hai hệ số khác nhau của ma trận tích, dễ dàng suy ra đẳng thức thứ hai từ cái đầu tiên bằng cách thay n bởi n + 1), F m F n + F m − 1 F n − 1 = F m + n − 1 , F m F n + 1 + F m − 1 F n = F m + n . {\displaystyle {\begin{aligned}{F_{m}}{F_{n}}+{F_{m-1}}{F_{n-1}}&=F_{m+n-1},\\F_{m}F_{n+1}+F_{m-1}F_{n}&=F_{m+n}.\end{aligned}}}cụ thể, với m = n, F 2 n − 1 = F n 2 + F n − 1 2 F 2 n = ( F n − 1 + F n + 1 ) F n = ( 2 F n − 1 + F n ) F n . {\displaystyle {\begin{aligned}F_{2n-1}&=F_{n}^{2}+F_{n-1}^{2}\\F_{2n}&=(F_{n-1}+F_{n+1})F_{n}\\&=(2F_{n-1}+F_{n})F_{n}.\end{aligned}}}Hai đẳng thức cuối cùng cho ta một cách tính đệ quy các số Fibonacci với O(log(n)) phép toán số học trong thời gian O(M(n) log(n)), trong đó M(n) là thời gian để thực hiện phép nhân hai số có n chữ số. Thời gian tính toán số hạng thứ n của dãy Fibonacci sử dụng công thức này tương tự như cách tính với biểu thức ma trận dạng đóng, nhưng với ít hơn các bước không cần thiết nếu cần phải tránh thực hiện việc tính toán lại một số Fibonacci đã được tính ra trước đó (đệ quy có nhớ).[1] Các đẳng thứcF(n + 1) = F(n) + F(n − 1) F(0) + F(1) + F(2) +... + F(n) = F(n + 2) − 1 F(1) + 2 F(2) + 3 F(3) +... + n F(n) = n F(n + 2) − F(n + 3) + 2Chuỗi lũy thừa
Tổng các nghịch đảoTổng vô hạn các nghịch đảo của các số Fibonacci có tính chất tương tự các hàm theta. Giá trị mang tên hằng số nghịch đảo Fibonacci C = ∑ k = 1 ∞ 1 F k = 3.359885 … {\displaystyle C=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}=3.359885\dots }đã được chứng minh là số vô tỷ bởi Richard André-Jeannin, nhưng chưa biết một biểu thức dạng chính xác của nó. Tổng quát hóaMở rộng cho các số âmDùng Fn-2 = Fn - Fn-1, có thể mở rộng các số Fibonacci cho các chỉ số nguyên âm. Khi đó ta có:... -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... và F-n = -(-1)nFn. Không gian vectơThuật ngữ dãy Fibonacci cũng được dùng cho các hàm g từ tập các số nguyên tới một trường F thoả mãn g(n+2) = g(n) + g(n+1). Các hàm này có thể biểu diễn dưới dạng g(n) = F(n)g(1) + F(n-1)g(0),do vậy các dãy Fibonacci hình thành một không gian vectơ với hàm F(n) và F(n-1) là một cơ sở. Tổng quát hơn, giá trị của g có thể lấy trong một nhóm abel (xem như một z-module). Khi đó dãy Fibonacci là một Z-module 2 chiều. Các dãy số nguyên tương tựCác số LucasĐặc biệt, dãy Fibonacci L với L(1) = 1 và L(2) = 3 được gọi là số Lucas, theo tên của Edouard Lucas. Dãy Lucas đã được Leonhard Euler đề cập đến năm 1748, trong Nhập môn giải tích vô hạn (Introductio in Analysin Infinitorum). Về ý nghĩa, các sô Lucas L(n) là luỹ thừa bậc n của tỷ lệ vàng ( 1 2 ( 1 + 5 ) ) n = 1 2 ( L ( n ) + F ( n ) 5 ) . {\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)^{n}={\frac {1}{2}}\left(L(n)+F(n){\sqrt {5}}\right).}Các số Lucas quan hệ với các số Fibonacci theo hệ thức L ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n + 1 ) . {\displaystyle L\left(n\right)=F\left(n-1\right)+F\left(n+1\right).\,}Một tổng quát hoá của dãy Fibonacci là các dãy Lucas. Nó có thể định nghĩa như sau: U(0) = 0 U(1) = 1 U(n + 2) = PU(n + 1) − QU(n)trong đó dãy Fibonacci là trường hợp đặc biệt khi P = 1 và Q = −1. Một dạng khác của các dãy Lucas bắt đầu với V(0) = 2, V(1) = P. Các dãy này có ứng dụng trong lý thuyết số để kiểm tra tính nguyên tố. Các dãy Padovan là tương tự với hệ thức truy hồi P(n) = P(n − 2) + P(n − 3). Các số TribonacciCác số tribonacci tương tự các số Fibonacci, nhưng thay vì khởi động với hai phần tử, dãy này khởi động với ba phân tử và mỗi số tiếp theo bằng tổng của ba phần tử đứng trước. Sau đây là một số sô tribonacci Giá trị của hằng số tribonacci là tỷ số (tỷ lệ mà các số tribonacci liền kề có xu hướng). Nó là nghiệm của đa thức x3 − x2 − x − 1, xấp xỉ 1.83929, và cũng thoả mãn phương trình x + x−3 = 2. Nó có vai trò quan trọng khi nghiên cứu khối snub. Các số tribonacci cũng được cho bởi T ( n ) = [ 3 b ( 1 3 ( a + + a − + 1 ) ) n b 2 − 2 b + 4 ] {\displaystyle T(n)=\left[3\,b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right]}ở đây cặp dấu ngoặc vuông ngoài là ký hiệu của hàm phần nguyên và a ± = ( 19 ± 3 33 ) 1 / 3 {\displaystyle a_{\pm }=\left(19\pm 3{\sqrt {33}}\right)^{1/3}}(Simon Plouffe, 1993).[1] Lưu trữ 2006-04-05 tại Wayback Machine Các tổng quát hóa khácCác đa thức Fibonacci là một tổng quát hoá khác của dãy Fibonacci. Một dãy Fibonacci ngẫu nhiên có thể xác định bằng việc ném đồng xu cho mỗi n trong dãy và lấy F(n)=F(n−1)+F(n−2) nếu đồng xu sấp và lấy F(n)=F(n−1)−F(n−2) nếu đồng xu ngửa. Có thể định nghĩa dãy "ngẫu nhiên Fibonacci" là dãy các số fn xác định theo đệ quy f0 = 1, f1 = 1, and f n = { f n − 1 + f n − 2 , with probability 0.5 f n − 1 − f n − 2 , with probability 0.5 {\displaystyle f_{n}=\left\{{\begin{matrix}f_{n-1}+f_{n-2},&{\mbox{with probability 0.5}}\\f_{n-1}-f_{n-2},&{\mbox{with probability 0.5}}\end{matrix}}\right.}Hầu chắc chắn rằng căn bậc n của trị tuyệt đối của số hạng thứ n hội tụ về một hằng số khi n tăng vô hạn. | f n | n → 1.13198824 … as n → ∞ . {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|f_{n}|}}\to 1.13198824\dots {\mbox{ as }}n\to \infty .}Số nguyên tố FibonacciMột số các số Fibonacci cũng là các số nguyên tố như: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229,…. Các số nguyên tố Fibonacci với hàng nghìn chữ số đã được tìm thấy, song vẫn chưa biết liệu có vô số các số như vậy không.[2] Fkn chia hết bởi Fn, do đó, ngoại trừ F4 = 3, bất cứ số nguyên tố Fibonacci prime phải có chỉ số thứ tự cũng là số nguyên tố. Không có số Fibonacci từF6 = 8 trở đi mà lớn hơn hay nhỏ hơn một so với số nguyên tố.[3] Số Fibonacci duy nhất chính phương không tầm thường là số 144.[4] Attila Pethő đã chứng minh trong 2001 chỉ có hữu hạn số lũy thừa hoàn hảo Fibonacci.[5] Trong 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte, và S. Siksek đã chứng minh rằng chỉ duy nhất 8 và 144 là số lũy thừa hoàn hảo không tầm thường.[6] Các xâu (ký tự) FibonacciCho xâu Fibonacci được định nghĩa đệ quy như sau: F n := F ( n ) := { b khi n = 0 ; a khi n = 1 ; F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) khi n > 1. {\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}b&{\mbox{khi }}n=0;\\a&{\mbox{khi }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{khi }}n>1.\\\end{cases}}}trong đó dấu "+" ký hiệu cho phép ghép hai xâu. Hãy viết giải thuật (đệ quy hoặc phi đệ quy) tính độ dài xâu. Hãy cho biết giá trị của chuỗi với n = 7 Dãy các xâu Fibonacci khởi đầu là: b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, …Độ dài của mỗi xâu Fibonacci chính là số Fibonacci, và có một xâu Fibonacci tương ứng với mỗi số Fibonacci. Các xâu Fibonacci cung cấp dữ liệu vào cho các minh dụ cho một vài thuật toán máy tính. Số Fibonacci trong tự nhiênThực vậtDãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên. Những chiếc lá trên một nhành cây mọc cách nhau những khoảng tương ứng với dãy số Fibonacci. Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89. Hoa loa kèn có 3 cánh, Họ Mao lương có 5 cánh, phi yến thường có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh. Nếu quan sát các 'mắt' trên vỏ của một trái thơm già, bạn có thể may mắn tìm thấy được số mắt trên 2 đường vòng cung chéo trên vỏ trái thơm là 2 số Fibonacci nào đó, thí dụ 13 và 21. Xem thêm
Chú thíchTham khảo
Liên kết ngoài
Tiếng ViệtTiếng Anh
|
