Đề bài - bài 103 trang 22 sbt toán 9 tập 1
Suy ra \({\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\) nhỏ nhất bằng \({\dfrac{3}{4}}\) khi và chỉ khi \(\sqrt x - {\dfrac{1}{2}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = {\dfrac{1}{2}} \)\(\Leftrightarrowx = {\dfrac{1}{4}}\) (thỏa mãn \(x>0\)) Đề bài Chứng minh: \(x - \sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\)với \(x > 0\) Từ đó, cho biết biểu thức \(\dfrac{1}{{x - \sqrt x + 1}}\)có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ? Giá trị đó đạt được khi \(x\) bằng bao nhiêu? Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng hằng đẳng thức\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\) Sau đó biện luận để tìm giá trị lớn nhất. Lời giải chi tiết Ta có: \({\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\)\( = x -2.\dfrac{1}{2}. \sqrt x + {\dfrac{1}{4}} + {\dfrac{3}{4}} \)\(= x - \sqrt x + 1\) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. Ta có: \({\dfrac{1}{x - \sqrt x + 1}} = {\dfrac{1}{{{\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)}^2} + {\dfrac{3}{4}}}}\) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi\({\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\) nhỏ nhất. Vì \({\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} \ge 0\)nên \({\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}} \ge \dfrac{3}{4}\) Suy ra \({\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\) nhỏ nhất bằng \({\dfrac{3}{4}}\) khi và chỉ khi \(\sqrt x - {\dfrac{1}{2}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = {\dfrac{1}{2}} \)\(\Leftrightarrowx = {\dfrac{1}{4}}\) (thỏa mãn \(x>0\)) Khi đó: \({\dfrac{1}{x - \sqrt x + 1}}=\dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}}}=\{\dfrac{4 }{3}}\) Vậy \({\dfrac{1}{x - \sqrt x + 1}}\)có giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{4 }{3}\)khi \(x = {\dfrac{1 }{4}}\).
|