Đề bài - bài 157 trang 99 sbt toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là:

a. Hình chữ nhật

b. Hình thoi

c. Hình vuông

Lời giải chi tiết

Trong ABC ta có EF là đường trung bình nên EF // AC và EF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AC (1)

Trong ADC ta có HG là đường trung bình nên HG // AC và HG = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành

a. Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật EH EF

Mà \(EF//AC\) (chứng minh trên) và \(EH//BD;EH=\dfrac{1}2BD\) (do EH là đường trung bình của tam giác ABD)

Do đó \(EH EF AC BD\)

Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật thì \(AC BD\)

b.Hình bình hành EFGH là hình thoi EH = EF

MàEF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AC (chứng minh trên) và\(EH=\dfrac{1}2BD\)(chứng minh trên)

Nên \(EH = EF AC = BD\)

Vậy tứ giác EFGH là hình thoi thì \(AC = BD\)

c. Tứ giác EFGH là hình vuông khi EFGH vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật.

Từ câu a, b suy ra tứ giác EFGH là hình vuông \( AC BD\) và \(AC = BD\)