Đề bài - bài 18 trang 8 sbt hình học 10 nâng cao

Đề bài

Cho ngũ giác \(ABCDE\). Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB, BC, CD, DE\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm các đoạn \(MP\) và \(NQ\).

Chứng minh rằng \(IJ// AE\) và \(IJ = \dfrac{1}{4}AE\).

Lời giải chi tiết

J là trung điểm của NQ nên với điểm I ta có:

\(\eqalign{ & 2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IN} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PN} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} (do\,\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0 ) \cr} \)

Mà

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EQ} \\
\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ} \\
\Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right)\\
+ \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) + \left( {\overrightarrow {EQ} + \overrightarrow {DQ} } \right)\\
\Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MQ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE}
\end{array}\)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AE} \)

Suy ra \(IJ // AE\) và \(IJ = \dfrac{1}{4}AE\).