Đề bài - bài 20 trang 21 vở bài tập toán 9 tập 1
|
\({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} \)\(= a - b + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} + b \)\(= a + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} \) Đề bài a) So sánh \(\sqrt {25 - 16} \) với \(\sqrt {25} - \sqrt {16} \) b) Chứng minh rằng với a > b > 0 thì \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \) Phương pháp giải - Xem chi tiết - Tính giá trị hai biểu thức rồi so sánh. - Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đúng dạng \({A^2} \ge 0\) Lời giải chi tiết a) \(\sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 = 3\) \(\sqrt {25} - \sqrt {16} = 5 - 4 = 1\) Rõ ràng \(3 > 1\) nên \(\sqrt {25 - 16} > \sqrt {25} - \sqrt {16} \) b) Bài ra cho \(a > b > 0\) nên \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a - b} \) đều xác định và dương. Ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \) Ta có \(\sqrt {a - b} + \sqrt b \) là số dương và \({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} \)\(= a - b + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} + b \)\(= a + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} \) Rõ ràng \(2\sqrt {b(a - b)} > 0\) nên \({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} > a\) (1) Ta có \(\sqrt a \) là số không âm và \({\left( {\sqrt a } \right)^2} = a\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \({\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2} > {\left( {\sqrt a } \right)^2}\) (3) Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra \(\sqrt {{{\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)}^2}} > \sqrt {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}} \) Hay \(\left| {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right| > \left| {\sqrt a } \right|\) Hay \(\sqrt {a - b} + \sqrt b > \sqrt a \) Từ kết quả \(\sqrt a < \sqrt {a - b} + \sqrt b \), ta có \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \)
|
