Đề bài
Biết \[\sinα -\cosα =m\], hãy tính\[si{n^3}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}co{s^3}\alpha \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hằng đẳng thức\[{A^3} - {B^3} = \left[ {A - B} \right]\left[ {{A^2} + AB + {B^2}} \right]\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[si{n^3}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}co{s^3}\alpha \]
\[ = {\rm{ }}\left[ {sin\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}cos\alpha } \right][si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}sin\alpha {\rm{ }}cos\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha ]\]
\[= m[1 + sinα cosα]\] [1]
Từ \[\sinα \cosα = m \]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow {\left[ {\sin \alpha - \cos \alpha } \right]^2} = {m^2}\\
\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = {m^2}\\
\Leftrightarrow 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = {m^2}\\
\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{{1 - {m^2}}}{2}\,\,[2]
\end{array}\]
Thay [2] vào [1] ta được:
\[{\sin ^3}\alpha - {\cos ^3}\alpha = m[1 + {{1 - {m^2}} \over 2}] \]\[= m.\frac{{3 - {m^2}}}{2} = \frac{{3m - {m^3}}}{2}\]