Đề bài - bài 36 trang 87 sgk toán 8 tập 1

Đề bài

Cho góc \(xOy\) có số đo \({50^o}\), điểm \(A\) nằm trong góc đó. Vẽ điểm \(B\) đối xứng với \(A\) qua \(Ox\), vẽ điểm \(C\) đối xứng với \(A\) qua \(Oy.\)

a) So sánh các độ dài \(OB\) và \(OC.\)

b) Tính số đo góc \(BOC.\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(B\) đối xứng với \(A\) qua \(Ox\) (giả thiết)

\( \Rightarrow Ox\) là đường trung trực của \(AB\)

\( \Rightarrow OA = OB\) (tính chất đường trung trực) (1)

Vì \(C\) đối xứng với \(A\) qua \(Oy\) \( \Rightarrow Oy\) là đường trung trực của \(AC\)

\( \Rightarrow OA = OC\)(tính chất đường trung trực) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \( OB = OC.\)

b) Vì \(OA = OB\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow AOB\) cân tại \(O\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Trong tam giác cânđường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác nên \(Ox\) là phân giác của \(\widehat {AOB}\).

\(\Rightarrow \widehat{O_{1}}= \widehat{O_{2}}= \dfrac{1}{2}\widehat{AOB}\)

Lại có \(AOC\) cân tại \(O\) (vì \(OA = OC\))

Trong tam giác cânđường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác nên\(Oy\) là phân giác của\(\widehat {AOC}\).

\( \Rightarrow \widehat{O_{3}}= \widehat{O_{4}}= \dfrac{1}{2}\widehat{AOC}\)

Do đó

\(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}=\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{3}}+\widehat{O_{4}}\)\(=\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{3}}+\widehat{O_{3}}\)\(=2.\widehat{O_{1}}+2.\widehat{O_{3}}= 2(\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{3}})\)\(= 2\widehat{xOy}\)\(={2.50^o}\)\(={100^o}\)

Vậy\(\widehat{BOC}={100^o}\)