Đề bài - bài 3.61 trang 168 sbt hình học 10

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho đường tròn (C): \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4\)và đường thẳng \(d:x - y - 1 = 0\). Viết phương trình đường tròn (C)đối xứng với đường tròn (C)qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C)và (C).

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right).\)

Do đó đường thẳng \(\Delta \)đi qua tâm \(I\left( {1;2} \right)\)và vuông góc vớidnên nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1} \right)\) làm VTPT.

\(\Delta\) có phương trình :

\(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)

Tọa độ giao điểm H của d và \(\Delta \)là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \) \(\Rightarrow H\left( {2;1} \right)\)

Gọi J là điểm đối xứng của I quad. Khi đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3\\{y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0\end{array} \right. \) \(\Rightarrow J(3;0).\)

Vì (C )đối xứng với (C )qua d nên (C )có tâm là \(J\left( {3;0} \right)\)và bán kính R = 2.

Do đó (C )có phương trình là : \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\)

Tọa độ các giao điểm của (C )và (C )là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\2{x^2} - 8x + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = 0\\x = 3,y = 2.\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm của (C )và (C )là A(1 ; 0) và B(3 ; 2).