Đề bài - câu 7 trang 100 sgk đại số và giải tích 11 nâng cao
\(\eqalign{& {\left( {1 + x} \right)^{k + 1}} \ge \left( {1 + x} \right)\left( {1 + kx} \right) \cr& = 1 + x + kx + k{x^2}\cr&= 1 + \left( {k + 1} \right)x + k{x^2} \cr&\ge 1 + \left( {k + 1} \right)x \cr} \) Đề bài Cho số thực \(x > -1\). Chứng minh rằng : \({\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx\) (1) Với mọi số nguyên dương n. Lời giải chi tiết +) Với \(n = 1\), ta có \({\left( {1 + x} \right)^1} = 1 + x = 1 + 1.x\) Như vậy, ta có (1) đúng khi \(n = 1\) +) Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là: \({\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx\) +) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\). Thật vậy, từ giả thiết \(x > -1\) nên \((1+x)>0\) Theo giả thiết qui nạp, ta có :\({\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx\) (2) Nhân hai vế của (2) với \((1+x)\) ta được: \(\eqalign{ Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).
|