Đề bài - đề số 9 - đề kiểm tra học kì 1 - toán 9
|
\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{x + 5\sqrt x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}.\end{array}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Đề bài Phần I: Trắc nghiệm (2 điểm) Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng cho các câu hỏi sau: Câu 1 :Điều kiện để biểu thức\(A = \dfrac{{2017}}{{\sqrt x - 1}}\) xác định là: A.\(x > 0\) B.\(x > 1\) C.\(x > 0,x \ne 1\) D.\(x \ge 0,x \ne 1\) Câu 2 (TH):Cho\(\sqrt {x - 1} = 2\), giá trị của \(x\) là: A.\( - 3\)B.3 C.\( - 1\) D.5 Câu 3 :Cho biểu thức \(P = \sqrt {\dfrac{{5a}}{{32}}} .\sqrt {\dfrac{{2a}}{5}} \) với \(a \ge 0\), kết quả thu gọn của \(P\) là: A.\(\dfrac{{\sqrt a }}{{16}}\).B.\(\dfrac{a}{4}\). C.\(\dfrac{a}{{16}}\).D.\(\dfrac{{\sqrt a }}{4}\). Câu 4 :Trong các hàm số dưới đây, hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\)là: A.\(y = {x^2} + 3\)B.\(y = x - 3\) C.\(y = 4x\).D.\(y = 4 - x\). Câu 5 :Cho 2 đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = \left( {{m^2} + 1} \right)x + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = 5x + m\). Hai đường thẳng đó trùng nhau khi: A.\(m = \pm 2\) B.\(m = 2\) C.\(m = - 2\)D.\(m \ne \pm 2\) Câu 6 :Cho tam giácABCvuông tạiA. Trong các hệ thức sau, hệ thức đúng là: A.\(\sin C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\) B.\(\cos C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\) C.\(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) D.\(\cot C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) Câu 7 :Cho hai điểm phân biệtA, B. Số đường thẳng đi qua hai điểmA, Blà: A.0B.1 C.2D.Vô số
Phần II. Tự luận (8 điểm) Câu 1: (2 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\) với\(x > 0,x \ne 25\). a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi\(x = 81\). b) Cho\(P = A.B\), chứng minh rằng \(P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\) c) So sánh \(P\) và\({P^2}\). Câu 2: (2 điểm) Cho hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\) (\(m\)là tham số) a)Vẽ đồ thị hàm số trên khi\(m = - 1\). b)Tìm \(m\)để hai đường thẳng \(\left( d \right)y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)và \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Câu 3: (3,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kínhABvà điểmCthuộc đường tròn \(\left( O \right)\)(CkhácAvàB) sao cho\(AC > BC\). QuaOvẽ đường thẳng vuông góc với dây cungACtạiH. Tiếp tuyến tạiAcủa đường tròn \(\left( O \right)\) cắtOHtạiD. Đoạn thẳngDBcắt đường tròn \(\left( O \right)\) tạiE. a) Chứng minh \(HA = HC,\angle DCO = {90^o}\) b) Chứng minh rằng \(DH.DO = DE.DB\) c) Trên tia đối của tiaEAlấy điểmFsao choElà trung điểm cạnhAF. TừFvẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳngADtạiK. Đoạn thẳngFKcắt đường thẳngBCtạiM. Chứng minh\(MK = MF\). Câu 4: (0,5 điểm) Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \dfrac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\) LG trắc nghiệm Lời giải chi tiết: Phần I:
LG bài 1 Lời giải chi tiết: Câu 1:Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\) với\(x > 0,x \ne 25\). a)Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 81\). Với\(x = 81\) ta có\(A = \dfrac{{\sqrt {81} - 5}}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{{9 - 5}}{9} = \dfrac{4}{9}\). Vậy với \(x = 81\) ta có\(A = \dfrac{4}{9}\). b)Cho \(P = A.B\), chứng minh rằng \(P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\) \(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{x + 5\sqrt x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}.\end{array}\) Xét\(P = A.B = \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} \)\(\;= \dfrac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}} \)\(\;= \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\). Vậy \(P = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\).\(\) c)So sánh \(P\) và \({P^2}\). Xét hiệu \(P - {P^2} = P\left( {1 - P} \right)\). Nhận thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + 2 > 0\;\forall x > 0\\\sqrt x + 5 > 0\;\forall x > 0\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > 0\;\forall x > 0\). (1) Xét \(1 - P = 1 - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}} = \dfrac{{\sqrt x + 5 - \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 5}} = \dfrac{3}{{\sqrt x + 5}}\). Vì \(\sqrt x + 5 > 0\;\forall x > 0\) \(\Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow 1 - P > 0\;\forall x > 0\). (2) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow P\left( {1 - P} \right) > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P - {P^2} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > {P^2}\;\forall x > 0\). Vậy \(P > {P^2}\) với mọi x thỏa mãnĐKXĐ. LG bài 2 Lời giải chi tiết: Câu 2: Cho hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\) (\(m\)là tham số) a)Vẽ đồ thị hàm số trên khi\(m = - 1\). Với \(m = - 1\) ta có hàm số có dạng:\(y = x + 3\) Chọn\(x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow \)\(A\left( {0;3} \right)\)thuộc đồ thị hàm số Chọn\(y = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \Rightarrow B\left( { - 3;\;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số. Từ đó ta có đồ thị hàm số: b)Tìm \(m\)để hai đường thẳng \(\left( d \right)y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)và \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Phương trình của trục tung có dạng \(x = 0\). Thay \(x = 0\) vào hàm số \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) ta có \(y = 3\) Suy ra \(A\left( {0;3} \right)\) là giao điểm của\(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) và trục tung. Vì hai đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)và \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên điểm \(A\left( {0;3} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\) \( \Rightarrow 3 = \left( {m + 2} \right).0 + 2{m^2} + 1 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\). Với \(m = 1 \Rightarrow y = 3x + 3 \Rightarrow \)\(\left( d \right)\) trùng với \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) (loại vì nếu hai đường thẳng trùng nhau thì không thể cắt nhau tại 1 điểm) Với \(m = - 1 \Rightarrow y = x + 3\) (thỏa mãn) Vậy\(m = - 1\) là giá trị cần tìm. LG bài 3 Lời giải chi tiết: Câu 3: Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kínhABvà điểmCthuộc đường tròn \(\left( O \right)\)(CkhácAvàB) sao cho\(AC > BC\). QuaOvẽ đường thẳng vuông góc với dây cungACtạiH. Tiếp tuyến tạiAcủa đường tròn \(\left( O \right)\) cắtOHtạiD. Đoạn thẳngDBcắt đường tròn \(\left( O \right)\) tạiE a)Chứng minh \(HA = HC,\angle DCO = {90^o}\) Xét tam giácAOCcó: \(AO = CO\)(do cùng là bán kính), suy ra tam giácAOCcân tạiO Mà cóOHlà đường cao ứng với đỉnhOnênOHđồng thời cũng là trung trực củaAC Suy ra \(HA = HC\). (đpcm) Xét tam giácAOCcân tạiOcóOHlà đường cao, suy raOHđồng thời là đường phân giác \( \Rightarrow \angle AOH = \angle COH\). Xét tam giácDOCvà tam giácDOAcó: +) Chung cạnhOD +) \(AO = CO\)(do cùng là bán kính) +) \(\angle AOH = \angle COH\) \( \Rightarrow \Delta DOC = \Delta DOA \Rightarrow \angle DCO = \angle DAO = {90^o}\)(doADlà tiếp tuyến nên \(\angle DAO = {90^o}\))\(\)\(\) b)Chứng minh rằng \(DH.DO = DE.DB\) Xét tam giác vuôngADOvuông tạiAcóAHlà đường cao \( \Rightarrow A{D^2} = DH.DO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1) Xét tam giác vuôngDABvuông tạiAcóAElà đường cao (AEvuông góc vớiBDdo \(\angle AEB\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow A{D^2} = DE.DB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(DH.DO = DE.DB\;\;\left( { = A{D^2}} \right)\) (đpcm) \(\)\(\) c) Trên tia đối của tiaEAlấy điểmFsao choElà trung điểm cạnhAF. TừFvẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳngADtạiK. Đoạn thẳngFKcắt đường thẳngBCtạiM. Chứng minh\(MK = MF\). Kéo dàiBMcắtADtạiG,GFcắtABtạiL Xét tam giácABGcó: \(\begin{array}{l}DO//BG\;\left( { \bot AC} \right)\\OA = OB\;\left( { = R} \right)\end{array}\) \( \Rightarrow AD = DG\) (tính chất đường trung bình) Xét tam giácGFAcó: +)Dlà trung điểm củaAG(do\(AD = DG\)) +)Elà trung điểm củaAF(giả thiết) \( \Rightarrow \)DEsong song vớiGF(tính chất đường trung bình) Xét tam giácGALcó: +)Dlà trung điểmAG(do \(AD = DG\)) +)DBsong song vớiGL(doDEsong song vớiGF) Suy raBlà trung điểm củaAL(tính chất đường trung bình), suy ra\(AB = \dfrac{1}{2}AL\)\(\) Xét tam giácGKMcóKMsong song vớiAB(do cùng vuông góc vớiAG) \( \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{AB}} = \dfrac{{KG}}{{AG}}\) (định lí Ta-lét) (3) Xét tam giácGALcóKFsong song vớiAL(do cùng vuông góc vớiAG) \( \Rightarrow \dfrac{{KF}}{{AL}} = \dfrac{{GK}}{{AG}}\) (định lí Ta-lét) (4) Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{AB}} = \dfrac{{KF}}{{AL}}\). Mà có \(AB = \dfrac{1}{2}AL\) (cmt) \( \Rightarrow KM = \dfrac{1}{2}KF \Rightarrow MF = KF - KM = KF - \dfrac{1}{2}KF = \dfrac{1}{2}KF \Rightarrow KF = KM\)(đpcm). LG bài 4 Lời giải chi tiết: Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \dfrac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\) Ta có: \(S = \left( {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right) + \dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\). Áp dụng bất đẳng thức Co-si có: \(\begin{array}{l} + )\;x + \dfrac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{4}{{9x}}} = 2.\sqrt {\dfrac{4}{9}} = \dfrac{4}{3}\\ + )\;y + \dfrac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\dfrac{4}{{9y}}} = 2\sqrt {\dfrac{4}{9}} = \dfrac{4}{3}\end{array}\) Chứng minh bất đẳng thức phụ: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)(luôn đúng) Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: \(\dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}}\) Mà có \(x + y \le \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{{11}}{{36}}.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}} \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{\dfrac{4}{3}}} = \dfrac{{11}}{{12}}\). \( \Rightarrow S = \left( {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right) + \dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{{11}}{{12}} = \dfrac{{43}}{{12}}\). Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{9x}}\\y = \dfrac{4}{{9y}}\\x + y = \dfrac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{3}\) Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(\dfrac{{43}}{{12}}\) khi\(x = y = \dfrac{2}{3}\). Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com
|
