Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 trang 100 sgk đại số và giải tích 11 nâng cao - Câu trang SGK Đại số và Giải tích Nâng cao
\(\eqalign{ & {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} - {1 \over {k + 1}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)} \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}} \cr} \) Câu 1 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau : \(1 + 2 + 3 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}\) (1) Giải: +) Với n = 1 ta có \(1 = {{1\left( {1 + 1} \right)} \over 2}\) (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1 +) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có: \(1 + 2 + 3 + ... + k = {{k\left( {k + 1} \right)} \over 2}\) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\) tức là phải chứng minh : \(1 + 2 + ... + k + \left( {k + 1} \right) = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}\) Thật vậy ta có : \(\eqalign{ Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi n nguyên dương. Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức : \({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = {{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 3}\) Giải +) Với \(n = 1\) ta có \({2^2} = {{2.2.3} \over 3}\) (đúng). Vậy (1) đúng với \(n = 1\) +) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có : \({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3}\) +) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh : \({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3}\) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có : \(\eqalign{ Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\) Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\), ta luôn có bất đẳng thức sau : \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} < 2\sqrt n \) Giải: +) Với \(n = 1\) ta có \(1 < 2\sqrt 1 \) . Vậy (1) đúng với \(n = 1\) +) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có : \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} < 2\sqrt k \) +) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh : \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \left( * \right)\) Theo giả thiết qui nạp ta có : \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\) Để chứng minh (*) ta cần chứng minh \(2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \) Thật vậy ta có : \(\eqalign{ \( \Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1\) \( 0 < 1\) (luôn đúng) Vậy ta có (*) luôn đúng tức (1) đúng với \(n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\). Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n 2\), ta luôn có đẳng thức sau : \(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{n^2}}}} \right) = {{n + 1} \over {2n}}\) Giải +) Với \(n = 2\) ta có \(1 - {1 \over 4} = {3 \over 4}\) (đúng). Vậy (1) đúng với \(n = 2\) +) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có \(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right) = {{k + 1} \over {2k}}\) +) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh : \(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}}\) Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có : \(\eqalign{ Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n 2\) Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau : \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}.\) Giải: +) Với \(n = 2\) ta có : \({1 \over 3} + {1 \over 4} = {7 \over {12}} > {{13} \over {24}}\) Như vậy (1) đúng khi \(n = 2\) +) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k > 2\), tức là giả sử \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}\) +) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh \({1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} > {{13} \over {24}}\) Thật vậy , ta có: \(\eqalign{ (theo giả thiết quy nạp) Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên \(n > 1\). Câu 6 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao Với mỗi số nguyên dương n, đặt \({u_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\) (1) .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có un chia hết cho 5. Giải: +) Với \(n = 1\), ta có: \({u_1} = {7.2^{2.1 - 2}} + {3^{2.1 - 1}} = 7 + 3 = 10\) \(\vdots\) \( 5\) Suy ra (1) đúng khi \(n = 1\). +) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là: \({u_k} = [{7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}]\)\(\vdots\) \( 5\) +) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\) Thật vậy, ta có : \(\eqalign{ Vì \(u_k \) \(\) \(5\) (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra \({u_{k + 1}}\) chia hết cho \(5\)ta được điều cần chứng minh. Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao Cho số thực \(x > -1\). Chứng minh rằng : \({\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx\) (1) Với mọi số nguyên dương n. Giải +) Với \(n = 1\), ta có \({\left( {1 + x} \right)^1} = 1 + x = 1 + 1.x\) Như vậy, ta có (1) đúng khi \(n = 1\) +) Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là: \({\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx\) +) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\). Thật vậy, từ giả thiết \(x > -1\) nên \((1+x)>0\) Theo giả thiết qui nạp, ta có :\({\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx\) (2) Nhân hai vế của (2) với \((1+x)\) ta được: \(\eqalign{ Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\). Câu 8 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao Một học sinh chứng minh mệnh đề Với \(k\) là một số nguyên dương tùy ý, nếu \({8^k} + 1\) chia hết cho 7 thì \({8^{k + 1}} + 1\) cũng chia hết cho 7 như sau : Ta có: \({8^{k + 1}} + 1 = 8\left( {{8^k} + 1} \right) - 7.\) Từ đây và giả thiết \({8^k} + 1\)chia hết cho 7, hiển nhiên suy ra \({8^{k + 1}} + 1\)chia hết cho 7. Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được \({8^n} + 1\) chia hết cho 7 với mọi \(n \in \mathbb N^*\) hay không ? Vì sao ? Giải Không thể kết luận \({8^n} + 1\) chia hết cho 7 với mọi \(n \in \mathbb N^*\) ,vì chưa kiểm tra tính đúng của mệnh đề đó khi \(n = 1\).
|