Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 156 sách giáo khoa đại số và giải tích 11 - Bài trang sách giáo khoa Đại số và Giải tích
c) \(y = f(x+x) - f(x) = 2(x + x)^3- 2x^3\)= \(6{x^2}\Delta x + 6x{(\Delta x)^2} + 2{(\Delta x)^3} = 2\Delta x.(3{x^2} + 3x\Delta x + {(\Delta x)^2})\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x\left[ {3{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}}\Delta x + \Delta {x^2}} \right]} \over {\Delta x}}\) \(= 6x^2+ 6xx + 2(x)^2\). Bài 1 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Tìm số gia của hàm số \(f(x) = x^3\), biết rằng : a) \(x_0= 1;x = 1\) b) \(x_0= 1;x = -0,1\) Lời Giải: a) \(y = f(x_0+x) - f(x_0) = f(2) - f(1) = 2^3-1^3= 7\). b) \(y = f(x_0+x) - f(x_0) = f(0,9) - f(1)\) =\( \left ( \frac{9}{10} \right )^{3} - 1^3=\) \( \frac{729}{1000} - 1 = -0,271\). Bài 2 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11 Tính \(y\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}}\)của các hàm số sau theo \(x\) và \(x\) : a) \(y = 2x - 5\); b) \(y = x^2- 1\); c) \(y = 2x^3\); d) \(y = {1 \over x}\). Trả lời: a) \(y = f(x+x) - f(x) = 2(x+x) - 5 - (2x - 5) = 2x\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x} \over {\Delta x}} = 2\). b) \(\Delta y = f(\Delta x + x) - f(x) = {(x + \Delta x)^2} - 1 - ({x^2} - 1)\) \(= 2x.\Delta x + {(\Delta x)^2} = \Delta x(2x + \Delta x)\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{\Delta x\left( {2{\rm{x}} + \Delta x} \right)} \over {\Delta x}} = 2{\rm{x + }}\Delta {\rm{x}}\) c) \(y = f(x+x) - f(x) = 2(x + x)^3- 2x^3\)= \(6{x^2}\Delta x + 6x{(\Delta x)^2} + 2{(\Delta x)^3} = 2\Delta x.(3{x^2} + 3x\Delta x + {(\Delta x)^2})\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x\left[ {3{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}}\Delta x + \Delta {x^2}} \right]} \over {\Delta x}}\) \(= 6x^2+ 6xx + 2(x)^2\). d) \(y = f(x+x) - f(x) =\)\(-{1 \over x} + {1 \over {x +\Delta x}} = {{x - \Delta x - x} \over {x\left( {x + \Delta x} \right)}} = - {{\Delta x} \over {x\left( {x + \Delta x} \right)}}\) \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {1 \over {\left( {x + \Delta x} \right)x}}\) Bài 3 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: a) \(y = x^2+ x\) tại \(x_0= 1\); b) \(y = \frac{1}{x}\) tại \(x_0= 2\); c) \(y = \frac{x+1}{x-1}\)tại \(x_0= 0\). Giải: a) Giả sử \(x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 1\). Ta có: \(y = f(1 +x) - f(1) = (1 + x)^2+ (1 + x)- (1^2+1)\) \(= 3x +(x)^2\) \( \frac{\Delta y}{\Delta x} = 3 +x\); \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (3 + \Delta x) = 3\) Vậy \(f'(1) = 3\). b) Giả sử \(x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có: \(y = f(2 +x) - f(2) = \frac{1}{2+\Delta x} - \frac{1}{2} = - \frac{\Delta x}{2\left ( 2+\Delta x \right )}\); \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\)= - \( \frac{1}{2\left ( 2+\Delta x \right )}\); \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( { - {1 \over {2.(2 + \Delta x)}}} \right) = - {1 \over 4}\) Vậy \(f'(2) = - \frac{1}{4}\). c)Giả sử \(x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 0\).Ta có: \(y = f(x) - f(0) = \frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}- ( -1) = \frac{2\Delta x}{\Delta x-1}\); \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\)=\( \frac{2}{\Delta x-1}\);\( \mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\)\( \frac{\Delta y}{\Delta x}\)=\( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\)\( \frac{2}{\Delta x-1} = -2\). Vậy \(f'(0) = -2\). Bài 4 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = \left\{ \matrix{ không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\). Giải: Ta có\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} f(x) = \)\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} (x 1)^2= 1\) và\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} f(x) = \)\(\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} (-x^2)= 0\). vì\(\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x) \)\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\)nên hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\), do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\). Ta có\(\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\)\( \frac{f\left ( 2+\Delta x \right )-f\left ( 2 \right )}{\Delta x}\)=\( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\)\( \frac{\left ( 1+\Delta x \right )^{2}-1^{2}}{\Delta x}\)=\( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} (2 +x) = 2\). Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).
|