Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 159, 160 sách giáo khoa đại số 10 -
\(\eqalign{ & {(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} )^2} \cr & = 4(a + b + c) + 3 + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4b + 1} + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4c + 1} + 2\sqrt {4b + 1} \sqrt {4c + 1} \cr & \le 4(a + b + c) + 3 + (4a + 1) + (4b + 1) + (4a + 1) + (4c + 1) + (4b + 1) + (4c + 1) \cr & \le 12(a + b + c) + 9 \le 21 \le 25 \cr & \cr} \)
Cho hàm số\(f(x) = \sqrt {{x^2} + 3x + 4} - \sqrt { - {x^2} + 8x - 15} \) a) Tìm tập xác định \(A\) của hàm số \(f(x)\) b) Giả sử \(B = \left\{ {x \in R:4 < x \le \left. 5 \right\}} \right.\). Hãy xác định các tập hợp \(A\backslash B\) và \(R\backslash(A\backslashB)\) Trả lời: a) Tập xác định của \(f(x)\) : \(A{\rm{ }} = {\rm{\{ }}x{\rm{ }} \in {\rm{ }}R|{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\text { và } - {x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}15{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\} \) \(x^2+ 3x + 4\) có biệt thức \(Δ = 3^2 16 < 0\) Theo định lí dấu của tam thức: \(x^2+ 3x + 4 0 ,x \mathbb R\) \(-x^2+ 8x 15 = 0 x_1= 3, x_2= 5\) \(-x^2+ 8x 15 > 0 3 x 5 A = [3; 5]\) b) \(A\backslash B = [3; 4]\) \(R\backslash(A\backslash B) = (-; 3) (4;+)\) Câu 2 trang 160 SGK Đại số 10 Cho phương trình: \(mx^2 2x 4m 1 = 0\) a) Chứng minh rằng với mọi giá trị \(m0\) phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm giá trị của \(m\) để \(- 1\) là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm còn lại. Trả lời: a) \(\eqalign{ Vậy với \(m 0\) phương trình là bậc hai có biệt thức chung nên có \(2\) nghiệm phân biệt. b) \(\eqalign{ Với \(m = {1 \over 3}\), phương trình có nghiệm \(x_1= -1\). Gọi nghiệm kia là \(x_2\). Theo định lí Vi-et: \({x_1} + {x_2} = - 1 + {x_2} = {2 \over m} = {2 \over {{1 \over 3}}} \Rightarrow {x_2} = 7\) Câu 3 trang 160 SGK Đại số 10 Cho phương trình: \({x^2} - 4mx + 9{(m - 1)^2} = 0\) a) Xem xét với giá trị nào của \(m\), phương trình trên có nghiệm. b) Giả sử \(x_1,x_2\)là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức liên hệ giữa \(x_1\)và \(x_2\)không phụ thuộc vào \(m\). c) Xác định \(m\) để hiệu các nghiệm của phương trình bằng \(4\). Trả lời: a) \(Δ = 4m^2 9(m-1) = -5m^2+18m 9 0\) \(\Leftrightarrow {3 \over 5} \le m \le 3\) Phương trình có nghiệm nếu \(m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\) b) Với \(m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\)phương trình có các nghiệm \(x_1,x_2\)thỏa mãn \(x_1+x_2= 4m\) (1) và \(x_1.x_2= 9(m-1)^2\) (2) Từ (1)và (2) suy ra: \({x_1}.{x_2} = 9{({{{x_1} + {x_2}} \over 4} - 1)^2} \Leftrightarrow 9{({x_1} + {x_2} - 4)^2} - 16{x_1}{x_2} = 0\) Đó là hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với tham số \(m\). c) Ta có: \(x_2 x_1= 4;x_1+ x_2= 4m x_2= 2(m+1)\) Thay biểu thức của \(x_2\)vào phương trình thì được: \(4(m+1)^2 8m(m+1) + 9(m-1)^2= 0\) \(\eqalign{ Kết luận: Nếu \(m = 1\) hoặc \(m = {{13} \over 5}\)thì hiệu của \(2\) nghiệm bằng \(4\). Câu 4 trang 160 SGK Đại số 10 Chứng minh các bất đẳng thức: a) \(5(x-1) < x^5 1< 5x^4(x-1)\), biết \(x 1 > 0\) b) \(x^5+ y^5 x^4y xy^4 0\), biết \(x + y 0\) c) \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} < 5\), biết rằng \(a, b, c\) cùng lớn hơn và \(a + b + c = 1\) Trả lời: a) \(x -1 >5 x > 1 x^4> x^3> x^2> x > 1\) \(\Rightarrow {\rm{ }}5{x^4} > {\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}5\) \(\Rightarrow {\rm{ }}5{x^4}\left( {x - 1} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}\left( {x - 1} \right)({\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5} - 1{\rm{ }} > {\rm{ }}5{\rm{ }}\left( {x - 1} \right)\) b) \({{x^5} + {\rm{ }}{y^{5}}-{\rm{ }}{x^4}y{\rm{ }}-{\rm{ }}x{y^4} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)\left( {{x^4}-{\rm{ }}{x^3}y{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2}{y^2}-{\rm{ }}x{y^3} + {\rm{ }}{y^4}} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}xy\left( {{x^{3}} + {\rm{ }}{y^3}} \right)}\) \({ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }}\left[ {\left( {{\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}{x^3}y + {\rm{ }}{x^2}{y^2}-{\rm{ }}x{y^3} + {\rm{ }}{y^4}} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}xy\left( {{x^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}} \right)} \right]}\) \({ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }}\left[ {\left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}2xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]}\) \({ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }}{{\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y} \right)}^2}\left( {{x^2} + {\rm{ }}{y^2}} \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }}0}\)do \(x + y 0; (x - y)^2 0, x^2+ y^2 0\) c) \(\eqalign{ Suy ra Đpcm
|