Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 93 sách giáo khoa hình học 10 - Câu trang SGK Hình học

Câu 1 trang 93 SGK Hình học 10

Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Biết các đỉnh \(A(5; 1), C(0; 6)\) và phương trình \(CD: x + 2y 12 = 0\).

Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại.

Trả lời:

Cạnh \(AB\) là đường thẳng đi qua \(A( 5; 1)\) và song song với \(CD\).

Vì \(CD\) có phương trình \(x + 2y 12 = 0\) nên phương trình của \(AB\) có dạng:

\(x + 2y + m = 0\)

\(AB\) đi qua \(A(5; 1)\) nên ta có:

\(5 + 2.1 + m = 0 m = -7\)

Vậy phương trình của \(AB\) là: \(x + 2y 7 = 0\)

\(AD\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(CD\).

Phương trình của \(CD\) là: \(x + 2y 12 = 0\) nên phương trình của \(AD\) có dạng:

\(2x y + n = 0\)

\(AD\) đi qua \(A(5, 1)\) cho ta: \(2.5 - 1 + n = 0 n = -9\)

Phương trình của \(AD\): \(2x - y - 9 = 0\)

\(CB\) là đường thẳng qua \(C\) và song song với \(AD\) nên phương trình của \(CB\) có dạng:

\(2x y + p = 0\)

\(CB\) đi qua \(C (0; 6)\) nên: \( 2.0 6 + p = 0 p = 6\)

Phương trình của \(CB\) là: \(2x y = 6 = 0\)

Vậy

\(AB: x + y 7 = 0\)

\(BC : 2x - y + 6 = 0\)

\(AD : 2x y 9 = 0\)

---

Câu 2 trang 93 SGK Hình học 10

Cho \(A(1; 2) B(-3; 1)\) và \(C(4; -2)\). Tìm tập hợp điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\)

Trả lời:

Gọi \((x; y)\) là tọa độ của điểm \(M\).

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MA} = (x - 1;y - 2) \cr
& \overrightarrow {MB} = (x + 3;y - 1) \cr
& \overrightarrow {MC} = (x - 4;y + 2) \cr} \)

Theo giả thiết, ta có:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} - 2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x + {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y + 1} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}12x{\rm{ }}-{\rm{ }}10y{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \cr
& \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}6} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}66 \cr} \)

Vậy quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \(M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\)là đường tròn tâm \(I (-6; 5)\) và bán kính \(R = \sqrt{66}\).

---

Câu 3 trang 93 SGK Hình học 10

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng:

\({\Delta _1}: 5x + 3y 3 = 0\)

\({\Delta _2}: 5x + 3y + 7 = 0\)

Trả lời:

Gọi \(M(x; y)\) là một điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có:

\(\eqalign{
& d(M,{\Delta _1}) = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }} \cr
& d(M,{\Delta _2}) = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }} \cr} \)

Điểm \(M\) cách đều hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\)nên:

\(\eqalign{
& {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }} \cr
& \Leftrightarrow |5x + 3y - 3| = |5x + 3y + 7| \cr} \)

Ta xét hai trường hợp:

(*) \(5x + 3y 3 = - (5x + 3y + 7) 5x + 3y + 2 = 0\)

(**) \(5x + 3y 3 = 5x + 3y + 7\) (vô nghiệm)

Vậy tập hợp các điểm \(M\) cách đều hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là đường thẳng \(Δ: 5x + 3y + 2 = 0\)

Dễ thấy \(Δ\) song song với \({\Delta _1},{\Delta _2}\) và hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) nằm về hai phía đối với \(Δ\).

---

Câu 4 trang 93 SGK Hình học 10

Cho đường thẳng \(Δ: x y + 2\) và hai điểm \(O(0; 0); A(2; 0)\)

a) Tìm điểm đối xứng của \(O\) qua \(Δ\)

b) Tìm điểm \(M\) trên \(Δ\) sao cho độ dài đường gấp khúc \(OMA\) ngắn nhất.

Trả lời:

a) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(Δ, H\) là giao điểm của đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(Δ\).

\(\overline {OH} = (x;y)\)

\( Δ: x y + 2 = 0\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u (1;1)\)

\(\overrightarrow {OH} \bot \Delta \Rightarrow 1.x + 1.y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x + y = 0 \hfill \cr
x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H( - 1;1)\)

Gọi \(O\) là đỉnh đối xứng của \(O\) qua \(Δ\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OO\)

\(\eqalign{
& {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {x_{O'}}} \over 2} \Rightarrow {x_{O'}} = - 2 \cr
& {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {y_{O'}}} \over 2} \Rightarrow {y_{O'}} = 2 \cr} \)

Vậy \(O(-2;2)\).

b) Nối \(OA\) cắt \(Δ\) tại \(M\)

Ta có: \(OM = OM\)

\( OM + MA = OM + MA = OA\)

Giả sử trên \(Δ\) có một điểm \(M M\), ta có ngay:

\(OM +MA > OA\)

Vậy điểm \(M\), giao điểm của \(OA\) với \(Δ\), chính là điểm thuộc \(Δ\) mà độ dài của đường gấp khúc \(OMA\) ngắn nhất.

\(A(2; 0); O(-2; 2)\) nên \(OA\) có hệ phương trình: \(x + 2y 2 = 0\)

Tọa độ của điểm \(M\) là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{
x + 2y - 2 = 0 \hfill \cr
x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow M( - {2 \over 3},{4 \over 3})\)