Giải bài 10, 11 trang 104 sgk toán 9 tập 1 - Bài trang sgk Toán - tập

Bài 10 trang 104 sgk Toán 9 - tập 1

Bài 10. Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.

b) \(DE < BC\)

Giải

a) Gọi O là trung điểm của BC.

Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền ta có:

\(EO=\frac{1}{2}BC; DO=\frac{1}{2}BC.\)

Suy ra\(OE=OD=OB=OC(=\frac{1}{2}BC)\)

Do đó 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O) đường kính BC.

b) Xét đường \(\left( {O;{{BC} \over 2}} \right)\), BC là đường kính, DE là một dây cung không đi qua tâm, do đó \(DE

Bài 11 trang 104 sgk Toán 9 - tập 1

Bài 11. Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(AB\), dây \(CD\) không cắt đường kính \(AB\). Gọi \(H\) và \(K\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) và \(B\) đến \(CD\). Chứng minh rằng \(CH=DK\)

Gợi ý:

Kẻ \(OM\) vuông góc với \(CD\).

Giải

Vẽ \(OM \bot CD\)

Xét tam giác \(OCD\) có:

\(\left\{\begin{matrix} OM\perp CD\\ OC=OD=\frac{AB}{2} \end{matrix}\right.\)

Tam giác \(OCD\) cân tại \(O\) có \(OM\) là đường cao nên cũng đồng thời là đường trung tuyến.

\(\Rightarrow MC=MD\) (1)

Xét hình thang \(AHKB\), ta có:

\(OM // AH //BK\)(cùng vuông góc với \(CD\))

\(AO=BO=\frac{AB}{2}\)

Vậy \(MO\) là đường trung bình của hình thang \(AHKB\)

\(\Rightarrow MH=MK\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow CH=DK\)

Nhận xét:Kết quả của bài toán trên không thay đổi nếu ta đổi chỗ hai điểm \(C\) và \(D\) cho nhau